Малая теорема Ферма даёт лишь необходимое условие. Для 341 = 11 · 31 след возведения 2 в степень 340 по модулю 341 сходится к единице, и тест пройден: перед нами псевдопростое по основанию 2. Для 561 = 3 · 11 · 17 тест проходит по основаниям 2, 5 и 7 — это число Кармайкла, обманывающее каждое взаимно простое основание. Не найдя делителя, модель заключает «простое» обоими случаями, и это ровно граница критерия, а не ошибка вычисления: каждое звено удвоения в следе движок пересчитывает и проверяет сам.
This is an assistant explanation, not a calculation result. Check the grounds and sources below.
Condition
Established
probatio
Subject shared by the facts below
progressio geometrica secundum modulum p ad basim a
vestigium potestatum ab exponente uno usque ad longitudinem datam
residuum minimum potestatis exponentis dati
| exponens | valor |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 1 |
| 6 | 1 |
Опорный случай: для настоящего простого числа критерий даёт верный ответ.
Condition
Established
probatio
Subject shared by the facts below
progressio geometrica secundum modulum p ad basim a
vestigium potestatum ab exponente uno usque ad longitudinem datam
residuum minimum potestatis exponentis dati
| exponens | valor |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 10 | 1 |
| 20 | 1 |
| 21 | 2 |
| 42 | 4 |
| 84 | 16 |
| 85 | 32 |
| 170 | 1 |
| 340 | 1 |
След степени 340 по модулю 341 сходится к единице: тест пройден, хотя 341 = 11 · 31.
Condition
Established
probatio
Subject shared by the facts below
progressio geometrica secundum modulum p ad basim a
vestigium potestatum ab exponente uno usque ad longitudinem datam
residuum minimum potestatis exponentis dati
| exponens | valor |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 16 |
| 5 | 32 |
| 10 | 1 |
| 20 | 1 |
| 21 | 2 |
| 42 | 4 |
| 84 | 16 |
| 85 | 32 |
| 170 | 1 |
| 340 | 1 |
Делитель не предъявлен, критерий пройден — вывод «простое» следует из посылок, и в этом слабость теста.
Condition
Established
probatio
Subject shared by the facts below
progressio geometrica secundum modulum p ad basim a
vestigium potestatum ab exponente uno usque ad longitudinem datam
residuum minimum potestatis exponentis dati
| exponens | valor |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 16 |
| 8 | 256 |
| 16 | 460 |
| 17 | 359 |
| 34 | 412 |
| 35 | 263 |
| 70 | 166 |
| 140 | 67 |
| 280 | 1 |
| 560 | 1 |
Первое основание тест не различает.
Condition
Established
probatio
Subject shared by the facts below
progressio geometrica secundum modulum p ad basim a
vestigium potestatum ab exponente uno usque ad longitudinem datam
residuum minimum potestatis exponentis dati
| exponens | valor |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 25 |
| 4 | 64 |
| 8 | 169 |
| 16 | 511 |
| 17 | 311 |
| 34 | 229 |
| 35 | 23 |
| 70 | 529 |
| 140 | 463 |
| 280 | 67 |
| 560 | 1 |
Второе основание тоже проходит: у обычного псевдопростого здесь была бы осечка.
Condition
Established
probatio
Subject shared by the facts below
progressio geometrica secundum modulum p ad basim a
vestigium potestatum ab exponente uno usque ad longitudinem datam
residuum minimum potestatis exponentis dati
| exponens | valor |
|---|---|
| 1 | 7 |
| 2 | 49 |
| 4 | 157 |
| 8 | 526 |
| 16 | 103 |
| 17 | 160 |
| 34 | 355 |
| 35 | 241 |
| 70 | 298 |
| 140 | 166 |
| 280 | 67 |
| 560 | 1 |
И третье. Число Кармайкла обманывает все взаимно простые основания сразу.
Condition
Established
probatio
Subject shared by the facts below
progressio geometrica secundum modulum p ad basim a
vestigium potestatum ab exponente uno usque ad longitudinem datam
residuum minimum potestatis exponentis dati
| exponens | valor |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 4 | 16 |
| 8 | 256 |
| 16 | 460 |
| 17 | 359 |
| 34 | 412 |
| 35 | 263 |
| 70 | 166 |
| 140 | 67 |
| 280 | 1 |
| 560 | 1 |
divisor allatus qui modulum metitur
Итог: без предъявленного делителя критерий Ферма признаёт простым и составное число.
The snapshot is immutable: the SHA-256 of the downloadable JSON pins it, so no access date is needed.
“Тест Ферма для 341 по основанию 2 и для 561 по основаниям 2, 5 и 7. Где критерий объявляет число простым и чем число Кармайкла отличается от обычного псевдопростого?”. Arxo Lens, as of 2026-09-06. https://lens.arxo.io/a/a_9qzwf1Xp4zT0njRr8U6CNa9t. Snapshot SHA-256: 47002a28deedbf9742ee6a67622cd4976d2b628aed2071e6157a9f17cce8d86c.
@misc{arxo-lens-a_9qzwf1Xp4zT0,
title = {Тест Ферма для 341 по основанию 2 и для 561 по основаниям 2, 5 и 7. Где критерий объявляет число простым и чем число Кармайкла отличается от обычного псевдопростого?},
howpublished = {Arxo Lens},
url = {https://lens.arxo.io/a/a_9qzwf1Xp4zT0njRr8U6CNa9t},
note = {as of 2026-09-06; SHA-256 47002a28deedbf9742ee6a67622cd4976d2b628aed2071e6157a9f17cce8d86c}
}The card shows the result and links to the full analysis; it sets no cookies.
<iframe src="https://lens.arxo.io/embed/a_9qzwf1Xp4zT0njRr8U6CNa9t?lang=en" width="100%" height="390" loading="lazy" title="Fermat's test deceived — Arxo Lens" style="border:0"></iframe>
Anonymous visit statistics, no cookies.