При каких условиях правый производный функтор определён на всей категории, когда R⁰F совпадает с F и почему инъективный объект ацикличен?

Правый производный функтор определён всюду, когда обе категории абелевы, в источнике достаточно инъективных объектов, а сам функтор аддитивен. Инъективная резольвента тогда существует у каждого объекта, R¹ считается по ней, а на инъективном объекте все старшие производные обращаются в нуль. Левая точность функтора равносильна совпадению R⁰F с F. Короткая точная последовательность порождает длинную точную последовательность производных, а в отрицательных степенях они нулевые.

Это пояснение ассистента, а не результат расчёта. Проверяйте выводы по основаниям и источникам ниже.

Кратко

Выберите результат, чтобы перейти к основаниям

Подробный разбор

Проверка условия

RF определён на всей категории

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду

Исходные факты

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: f

Пакет: Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "homomorphism_on_hom_groups"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "rf_everywhere_defined",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода20 шагов

1
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
2
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
3
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
4
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: urn:case:stacks:f; a: urn:case:stacks:cat-a; b: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
5
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: urn:case:stacks:f
факт дела
6
00ZY: функтор предаддитивных категорий аддитивен, если он гомоморфизм абелевых групп на множествах морфизмов
функтор аддитивен: f: urn:case:stacks:f
тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups
правило
7
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
8
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
9
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
10
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
11
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
12
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
13
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
14
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
15
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
16
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
17
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
18
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
19
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду: f: urn:case:stacks:f
тег 05TI, тег 05SV, тег 05T4
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined
правило
20
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 7 · факт дела: 13 · Полный граф: 24 узлов

Шаги сохранённого доказательства от фактов дела к ответу. Формулы показаны как записаны в норме, с подставленными значениями; страница ничего не пересчитывает.

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
00ZY: функтор предаддитивных категорий аддитивен, если он гомоморфизм абелевых групп на множествах морфизмов
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Другие правила расчёта2

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish

Вывод по запросу

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f: f

Другие выводы7

функтор аддитивен
f: f
0104: категория аддитивна
c: cat-a
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-a
0104: категория аддитивна
c: cat-b
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-b
05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f: f
05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f: f

функтор аддитивен
f
urn:case:stacks:f

0104: категория аддитивна
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f
f

05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f
f

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f
f

Скрыто выведенных фактов: 0. В кратком ответе движок оставляет относящиеся к вопросу; полный перечень — в JSON расчёта ниже.

Граф доказательств

Граф доказательства · 5 слой

Узлы доказательств: 24 · assertion 13, rule_application 8, constraint_check 2, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10

attributes

assertion: fact-10

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-10

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11

attributes

assertion: fact-11

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

enough_injectives

evidence

—

Идентификатор

fact-11

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12

attributes

assertion: fact-12

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

functor_between

evidence

—

Идентификатор

fact-12

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13

attributes

assertion: fact-13

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

homomorphism_on_hom_groups

evidence

—

Идентификатор

fact-13

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_functor

evidence

—

Идентификатор

7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5

Тип

rule_application

Посылки

fact-13

Правило

AdditiveByHomGroups

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3

attributes

assertion: fact-3

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-3

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4

attributes

assertion: fact-4

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-4

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5

attributes

assertion: fact-5

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-5

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

Тип

rule_application

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
fact-3
fact-4
fact-5

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6

attributes

assertion: fact-6

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-6

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7

attributes

assertion: fact-7

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-7

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

Тип

rule_application

Посылки

fact-6
fact-7

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8

attributes

assertion: fact-8

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-8

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9

attributes

assertion: fact-9

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-9

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

Тип

rule_application

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
fact-10
fact-8
fact-9

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

rf_everywhere_defined

evidence

—

Идентификатор

f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

Тип

rule_application

Посылки

7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-11
fact-12

Правило

RFEverywhereDefined

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

derived_functors_form_delta_functor

evidence

—

Идентификатор

8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd

Тип

rule_application

Посылки

f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

Правило

DerivedFormDeltaFunctor

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

negative_derived_functors_vanish

evidence

—

Идентификатор

9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2

Тип

rule_application

Посылки

f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

Правило

NegativeDerivedVanish

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

Тип

constraint_check

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-10
fact-8
fact-9

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

Тип

constraint_check

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
fact-3
fact-4
fact-5

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

rf_everywhere_defined

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "additive_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f)",
    "derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f)",
    "negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-10"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-11"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-12"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-13"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#homomorphism_on_hom_groups"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-8"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-9"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_form_delta_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:f",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:87c94de61ecf57f089b07a06c4502acfbb16e5fff0ed04b47c1482b970dc9dde",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:2770eae7501dfd5877e5a407d53dd2a4ca8610caff6b6000c2eb16d65aecbba3",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined"
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 8

tag/05SV

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/00ZY

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

A category $\mathcal{A}$ is called preadditive if each morphism set $\Mor_\mathcal{A}(x, y)$ is endowed with the structure of an abelian group such that the compositions
$\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)$
are bilinear. A functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ of preadditive categories is called additive if and only if $F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))$ is a homomorphism of abelian groups for all $x, y \in \Ob(\mathcal{A})$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:600a2de3027b9725e89be51b838fa162e7bdc03f62971f32609663a9cc1b9bb7",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/00ZY",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f2f20a29e596bff02bee9eee017d5b551092a1e17065b3a0638ec31466e411c6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-preadditive}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it preadditive} if each\nmorphism set $\\Mor_\\mathcal{A}(x, y)$ is endowed\nwith the structure of an abelian group such that the\ncompositions\n$$\n\\Mor(x, y) \\times \\Mor(y, z)\n\\longrightarrow\n\\Mor(x, z)\n$$\nare bilinear. A functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ of\npreadditive categories is called {\\it additive} if and only\nif $F : \\Mor(x, y) \\to \\Mor(F(x), F(y))$\nis a homomorphism of abelian groups for all\n$x, y \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0104

A category $\mathcal{A}$ is called additive if it is preadditive and finite products exist, in other words it has a zero object and direct sums.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2b8975d051697a9db95b3ff7f3fce2d90115db719d17e8fcc2f0682f0a58388a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0104",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:675cbb2c05ee57eb18db573e06c5dd58bc69ba38f1dc3b21733b091d62655a30",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-additive-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it additive}\nif it is preadditive and finite products exist, in other\nwords it has a zero object and direct sums.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

rf_everywhere_defined: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: additive_functor(urn:case:stacks:f); additive_category(urn:case:stacks:cat-a); abelian_category(urn:case:stacks:cat-a); additive_category(urn:case:stacks:cat-b); abelian_category(urn:case:stacks:cat-b); rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f); derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f); negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f) Применены правила: AdditiveByFiniteProducts, AdditiveByHomGroups, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, NegativeDerivedVanish, RFEverywhereDefined Право (вне юрисдикции государства): Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — доктрина (programHash sha256:b70b54495375…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 24 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

{
  "answer": {
    "evaluationStatus": "COMPUTED",
    "kind": "TRUTH",
    "meaning": "установлено",
    "missingInputs": [],
    "truthStatus": "TRUE_ONLY"
  },
  "closedEditionRules": [],
  "derived": [
    "additive_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f)",
    "derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f)",
    "negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-10"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-11"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-12"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-13"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#homomorphism_on_hom_groups"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-8"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-9"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_form_delta_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:f",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:87c94de61ecf57f089b07a06c4502acfbb16e5fff0ed04b47c1482b970dc9dde",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:2770eae7501dfd5877e5a407d53dd2a4ca8610caff6b6000c2eb16d65aecbba3",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "evaluationStatus": "COMPUTED",
  "issues": [],
  "judgmentRequests": [],
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "provenance": {
    "acts": [
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 16,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
        "package": "stacks-derived-functors",
        "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
      },
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 11,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
          "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
          "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
        "package": "stacks-categories",
        "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
      },
      {
        "contributed": false,
        "fragmentCount": 17,
        "fragments": [],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
        "package": "stacks-category-theory",
        "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
      }
    ],
    "caseHash": "sha256:7299d7d4001b7f6154f0372b741e9c7898ae828311ac9148a175f4d580767b11",
    "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
    "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
    "legalTime": "2026-09-06",
    "mode": "audit",
    "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
    "resultHash": "sha256:2770eae7501dfd5877e5a407d53dd2a4ca8610caff6b6000c2eb16d65aecbba3",
    "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
    "timezone": "Asia/Qyzylorda"
  },
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined"
  ],
  "signature": {
    "constants": {},
    "parameters": [
      {
        "labels": [],
        "name": "f",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:derived-functors#Functor"
        }
      }
    ],
    "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined",
    "schemaVersion": "law.answers.signature/0.1",
    "types": {
      "urn:stacks:clir:category-theory#Functor": {
        "kind": "entity",
        "labels": [
          {
            "language": "en",
            "status": "official",
            "text": "functor"
          },
          {
            "language": "ru",
            "status": "unofficial",
            "text": "функтор"
          }
        ],
        "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
        "package": "stacks.category_theory"
      },
      "urn:stacks:clir:derived-functors#Functor": {
        "kind": "alias",
        "labels": [],
        "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
        "package": "stacks.derived_functors",
        "target": "urn:stacks:clir:category-theory#Functor"
      }
    },
    "vocab": {}
  },
  "vulnerableTo": [],
  "whyNot": []
}

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:7299d7d4001b7f6154f0372b741e9c7898ae828311ac9148a175f4d580767b11",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
  "resultHash": "sha256:2770eae7501dfd5877e5a407d53dd2a4ca8610caff6b6000c2eb16d65aecbba3",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:a3f3f46f1f498038c817d001dd0771ae51bca12d948d12d42120af63d67cc4be

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "homomorphism_on_hom_groups"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "rf_everywhere_defined",
  "proof": true
}

Три посылки: обе категории абелевы, достаточно инъективных объектов, функтор аддитивен.

Проверка условия

Инъективная резольвента существует

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

у объекта есть инъективная резольвента

Исходные факты

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: xc: cat-a

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:x"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:x",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "object_of"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "has_injective_resolution",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода11 шагов

1
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
2
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
3
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
4
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
5
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
6
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
7
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
8
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
9
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: urn:case:stacks:x; c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
10
013K (1): в абелевой категории с достаточным запасом инъективных у всякого объекта есть инъективная резольвента
у объекта есть инъективная резольвента: a: urn:case:stacks:x
тег 013K, ST 0138
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist
правило
11
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 4 · факт дела: 7 · Полный граф: 12 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

013K (1): в абелевой категории с достаточным запасом инъективных у всякого объекта есть инъективная резольвента
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist

Вывод по запросу

у объекта есть инъективная резольвента
a: x

Другие выводы2

0104: категория аддитивна
c: cat-a
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-a

0104: категория аддитивна
c
urn:case:stacks:cat-a

0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c
urn:case:stacks:cat-a

у объекта есть инъективная резольвента
a
x

Граф доказательств

Граф доказательства · 5 слой

Узлы доказательств: 12 · assertion 7, rule_application 3, constraint_check 1, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3

attributes

assertion: fact-3

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-3

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4

attributes

assertion: fact-4

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-4

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5

attributes

assertion: fact-5

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-5

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

Тип

rule_application

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
fact-3
fact-4
fact-5

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6

attributes

assertion: fact-6

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

enough_injectives

evidence

—

Идентификатор

fact-6

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7

attributes

assertion: fact-7

conclusion

Аргументы

Идентификатор
x
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

object_of

evidence

—

Идентификатор

fact-7

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_injective_resolution

evidence

—

Идентификатор

53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e

Тип

rule_application

Посылки

d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
fact-6
fact-7

Правило

InjectiveResolutionsExist

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

Тип

constraint_check

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
fact-3
fact-4
fact-5

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_injective_resolution

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "has_injective_resolution(urn:case:stacks:x)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:x",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:x",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:x",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:715e8b182c05a7f698ff526cd3e2926b4ed76766286786fc96a23c553e41f061",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:f65c6402e0f1650ff812e9ad868c34d07a4a8a444637c974636851f05dfd808d",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist"
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 4

tag/013K

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Assume $\mathcal{A}$ has enough injectives.
Any object of $\mathcal{A}$ has an injective resolution.
If $H^n(K^\bullet) = 0$ for all $n \ll 0$ then $K^\bullet$ has an injective resolution.
If $K^\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$ , then there exists an injective resolution $\alpha : K^\bullet \to I^\bullet$ with $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\alpha^n : K^n \to I^n$ is injective.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:9698ad04b03a0ca888a87e8f88e9925a856764046ae30cfb569730f33de5c92d",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/013K",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:869cffaf0235a6f9d2d38c26d042d9ff1c0bbfae733cd1cdcc72af28b5bc8fa4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-resolutions-exist}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nAssume $\\mathcal{A}$ has enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item Any object of $\\mathcal{A}$ has an injective resolution.\n\\item If $H^n(K^\\bullet) = 0$ for all $n \\ll 0$ then\n$K^\\bullet$ has an injective resolution.\n\\item If $K^\\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$, then\nthere exists an injective resolution $\\alpha : K^\\bullet \\to I^\\bullet$\nwith $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\\alpha^n : K^n \\to I^n$ is\ninjective.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/00ZY

A category $\mathcal{A}$ is called preadditive if each morphism set $\Mor_\mathcal{A}(x, y)$ is endowed with the structure of an abelian group such that the compositions
$\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)$
are bilinear. A functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ of preadditive categories is called additive if and only if $F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))$ is a homomorphism of abelian groups for all $x, y \in \Ob(\mathcal{A})$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:600a2de3027b9725e89be51b838fa162e7bdc03f62971f32609663a9cc1b9bb7",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/00ZY",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f2f20a29e596bff02bee9eee017d5b551092a1e17065b3a0638ec31466e411c6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-preadditive}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it preadditive} if each\nmorphism set $\\Mor_\\mathcal{A}(x, y)$ is endowed\nwith the structure of an abelian group such that the\ncompositions\n$$\n\\Mor(x, y) \\times \\Mor(y, z)\n\\longrightarrow\n\\Mor(x, z)\n$$\nare bilinear. A functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ of\npreadditive categories is called {\\it additive} if and only\nif $F : \\Mor(x, y) \\to \\Mor(F(x), F(y))$\nis a homomorphism of abelian groups for all\n$x, y \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0104

A category $\mathcal{A}$ is called additive if it is preadditive and finite products exist, in other words it has a zero object and direct sums.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2b8975d051697a9db95b3ff7f3fce2d90115db719d17e8fcc2f0682f0a58388a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0104",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:675cbb2c05ee57eb18db573e06c5dd58bc69ba38f1dc3b21733b091d62655a30",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-additive-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it additive}\nif it is preadditive and finite products exist, in other\nwords it has a zero object and direct sums.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

has_injective_resolution: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: additive_category(urn:case:stacks:cat-a); abelian_category(urn:case:stacks:cat-a); has_injective_resolution(urn:case:stacks:x) Применены правила: AdditiveByFiniteProducts, abelian_category/sufficient, InjectiveResolutionsExist Право (вне юрисдикции государства): Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — доктрина (programHash sha256:b70b54495375…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 12 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

{
  "answer": {
    "evaluationStatus": "COMPUTED",
    "kind": "TRUTH",
    "meaning": "установлено",
    "missingInputs": [],
    "truthStatus": "TRUE_ONLY"
  },
  "closedEditionRules": [],
  "derived": [
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "has_injective_resolution(urn:case:stacks:x)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:x",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:x",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:x",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:715e8b182c05a7f698ff526cd3e2926b4ed76766286786fc96a23c553e41f061",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:f65c6402e0f1650ff812e9ad868c34d07a4a8a444637c974636851f05dfd808d",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "evaluationStatus": "COMPUTED",
  "issues": [],
  "judgmentRequests": [],
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "provenance": {
    "acts": [
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 16,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
        "package": "stacks-derived-functors",
        "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
      },
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 11,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
          "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
          "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
        "package": "stacks-categories",
        "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
      },
      {
        "contributed": false,
        "fragmentCount": 17,
        "fragments": [],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
        "package": "stacks-category-theory",
        "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
      }
    ],
    "caseHash": "sha256:16d96832d4b46160686e000373db91605fb7fe8a63485616e294fea65e774545",
    "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
    "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
    "legalTime": "2026-09-06",
    "mode": "audit",
    "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
    "resultHash": "sha256:f65c6402e0f1650ff812e9ad868c34d07a4a8a444637c974636851f05dfd808d",
    "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
    "timezone": "Asia/Qyzylorda"
  },
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist"
  ],
  "signature": {
    "constants": {},
    "parameters": [
      {
        "labels": [],
        "name": "a",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:derived-functors#Obj"
        }
      }
    ],
    "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution",
    "schemaVersion": "law.answers.signature/0.1",
    "types": {
      "urn:stacks:clir:category-theory#Obj": {
        "kind": "entity",
        "labels": [
          {
            "language": "en",
            "status": "official",
            "text": "object of a category"
          },
          {
            "language": "ru",
            "status": "unofficial",
            "text": "объект категории"
          }
        ],
        "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
        "package": "stacks.category_theory"
      },
      "urn:stacks:clir:derived-functors#Obj": {
        "kind": "alias",
        "labels": [],
        "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
        "package": "stacks.derived_functors",
        "target": "urn:stacks:clir:category-theory#Obj"
      }
    },
    "vocab": {}
  },
  "vulnerableTo": [],
  "whyNot": []
}

Исполнение · JSON

{
  "evaluationBytes": "{\"conflicts\":[],\"issues\":[],\"manifest\":{\"calendarSnapshot\":\"\",\"caseHash\":\"sha256:16d96832d4b46160686e000373db91605fb7fe8a63485616e294fea65e774545\",\"decisionTime\":\"2026-09-06T12:00:00+05:00\",\"evidenceSnapshotHash\":\"sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\",\"externalSnapshots\":{},\"id\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"interpretations\":[],\"knowledgeTime\":\"2026-09-06T12:00:00+05:00\",\"legalTime\":\"2026-09-06\",\"lockfileHash\":\"sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\",\"mode\":\"audit\",\"policies\":{},\"programHash\":\"sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317\",\"resolvedEditions\":{},\"semanticHash\":\"sha256:9bc9526a4ec4039361d765483bbc6d3ef0ea06e94552ea0cb829ddf6a9583933\",\"semantics\":\"law.core/0.1.0\",\"timezone\":\"Asia/Qyzylorda\"},\"positions\":[],\"proofGraph\":{\"nodes\":[{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-1\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:categories#preadditive_category\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-2\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:categories#additive_category\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-3\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-4\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-5\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"definition\":{\"concept\":\"urn:stacks:clir:categories#abelian_category\",\"mode\":\"exact\",\"part\":\"sufficient\"}},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:categories#abelian_category\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-6\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:categories#enough_injectives\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-7\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:x\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:category-theory#object_of\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:x\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"constraint\":\"urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary\",\"requirementStatus\":\"TRUE_ONLY\",\"status\":\"SATISFIED\",\"triggerStatus\":\"SATISFIED\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c\",\"kind\":\"constraint_check\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662\",\"urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5\"],\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:cat-a\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"literal\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution\"},\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:query:mcp\",\"kind\":\"query_evaluation\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e\"],\"sourceAnchors\":[]}],\"proofHash\":\"sha256:715e8b182c05a7f698ff526cd3e2926b4ed76766286786fc96a23c553e41f061\",\"roots\":[\"urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c\",\"urn:proof:query:mcp\"]},\"resultHash\":\"sha256:f65c6402e0f1650ff812e9ad868c34d07a4a8a444637c974636851f05dfd808d\",\"results\":[{\"conflicts\":[],\"evaluationStatus\":\"COMPUTED\",\"evidence\":[],\"id\":\"urn:result:mcp\",\"judgmentRequests\":[],\"manifest\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"missingInputs\":[],\"normativeStatusSupports\":[],\"proof\":\"urn:proof:query:mcp\",\"query\":\"urn:query:mcp\",\"resultKind\":\"PROPOSITION\",\"sourceAnchors\":[],\"target\":\"urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution\",\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"},{\"applicabilityStatus\":\"APPLICABLE\",\"conflicts\":[],\"evaluationStatus\":\"COMPUTED\",\"evidence\":[],\"id\":\"urn:result:constraint:abelian_category/necessary:450645d5ce8b0aa9\",\"judgmentRequests\":[],\"manifest\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"missingInputs\":[],\"normativeStatus\":\"SATISFIED\",\"normativeStatusSupports\":[],\"proof\":\"urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c\",\"query\":\"urn:query:mcp\",\"resultKind\":\"CONSTRAINT\",\"sourceAnchors\":[],\"target\":\"urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary\",\"triggerStatus\":\"SATISFIED\",\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"}],\"schemaVersion\":\"law.core.evaluation/0.1\"}",
  "evaluationSha256": "sha256:d7027c8e083c40d975e580372c09b698fd7fc16444312120dbf99a9be532189b",
  "request": {
    "case": {
      "assertions": [
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:categories"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:category-theory"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:categories"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:categories"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:categories"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:categories"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:x",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:category-theory"
        }
      ],
      "context": {
        "decisionTime": "2026-09-06T12:00:00+05:00",
        "knowledgeTime": "2026-09-06T12:00:00+05:00",
        "legalTime": "2026-09-06",
        "timezone": "Asia/Qyzylorda"
      },
      "options": {
        "selectedInterpretations": []
      }
    },
    "ir": {
      "irSha256": "sha256:933f13a399e1c0334cc8ee542695569db2199563262487630ca50769305259c3",
      "kind": "world_ref",
      "nodeCount": 202,
      "packages": [
        {
          "artifactHash": "sha256:c522aaa206f22044b085107a030f77422be0f9478c88125c82a8f3b9ade621e3",
          "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
          "package": "stacks-derived-functors",
          "semanticHash": "sha256:c699babe3fee3095884ef65f76edb67bf4c7c42c15f46f4e75ab10bc248922d7"
        },
        {
          "artifactHash": "sha256:58778a4f746bcbfab9fdf432e1ba2b355fa02e4e0f2cefc1f41dec0f17f9cffc",
          "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
          "package": "stacks-categories",
          "semanticHash": "sha256:f21771fe43fa7adf28a188524efa50baebafb5892a4f79ebf8d717b9d3dcb1fc"
        },
        {
          "artifactHash": "sha256:99a2792dcc914bce6faddd3dca7875f19749b622e87c8e1f8a3007d8c6e6aaa3",
          "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
          "package": "stacks-category-theory",
          "semanticHash": "sha256:bd6536b4675c408f93bc08df24740211450e93a567c136fbad33194dfe200cc2"
        }
      ],
      "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317"
    },
    "query": {
      "kind": "truth",
      "literal": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:x",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
      },
      "queryId": "urn:query:mcp"
    },
    "schemaVersion": "law.core.evaluation-request/0.2",
    "semanticVersion": "0.1.0"
  },
  "requestCanonicalSha256": "sha256:098c8eaf97a79f1870cd0f2d705850be27d3e0dd217433f350f7826cec3fae98"
}

Метаданные отображения

{
  "schemaVersion": "law.answers.presentation/0.1",
  "source": {
    "requestCanonicalSha256": "sha256:098c8eaf97a79f1870cd0f2d705850be27d3e0dd217433f350f7826cec3fae98"
  },
  "steps": [
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
      },
      "head": {
        "args": [
          {
            "kind": "var",
            "var": "v0"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
      },
      "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
      "kind": "rule_application",
      "originStatus": "available",
      "premises": [
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
      ],
      "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
      "sourceAnchors": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY"
      ],
      "strength": "strict",
      "substitution": {
        "v0": {
          "id": "urn:case:stacks:cat-a",
          "kind": "entity_ref"
        }
      },
      "trust": "engine",
      "variables": [
        {
          "id": "v0",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ]
    },
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
      },
      "head": {
        "args": [
          {
            "kind": "var",
            "var": "v0"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
      },
      "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
      "kind": "rule_application",
      "originStatus": "available",
      "premises": [
        "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
      ],
      "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
      "sourceAnchors": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
      ],
      "strength": "strict",
      "substitution": {
        "v0": {
          "id": "urn:case:stacks:cat-a",
          "kind": "entity_ref"
        }
      },
      "trust": "engine",
      "variables": [
        {
          "id": "v0",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ]
    },
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:x",
            "kind": "entity_ref"
          },
          {
            "id": "urn:case:stacks:cat-a",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:x",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
      },
      "head": {
        "args": [
          {
            "kind": "var",
            "var": "v0"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
      },
      "id": "urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e",
      "kind": "rule_application",
      "originStatus": "available",
      "premises": [
        "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
      ],
      "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist",
      "sourceAnchors": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0138"
      ],
      "strength": "strict",
      "substitution": {
        "v0": {
          "id": "urn:case:stacks:x",
          "kind": "entity_ref"
        },
        "v1": {
          "id": "urn:case:stacks:cat-a",
          "kind": "entity_ref"
        }
      },
      "trust": "engine",
      "variables": [
        {
          "id": "v0",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:derived-functors#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "v1",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:derived-functors#Category"
          }
        }
      ]
    },
    {
      "conclusion": {
        "literal": {
          "args": [
            {
              "id": "urn:case:stacks:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          ],
          "kind": "literal",
          "polarity": "positive",
          "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution"
        },
        "truthStatus": "TRUE_ONLY"
      },
      "id": "urn:proof:query:mcp",
      "kind": "query_evaluation",
      "originStatus": "available",
      "premises": [
        "urn:proof:apply:InjectiveResolutionsExist:53d2feed021dbceb90a5871db741af6dcd18bc84406671769dd23eb2a521606e"
      ],
      "trust": "engine"
    }
  ],
  "symbols": [
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "0104: a preadditive category with finite products is additive"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "0109: a category is abelian if it is additive, all kernels and cokernels exist, and \\(Coim(f) → Im(f)\\) is an isomorphism for all \\(f\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и \\(Coim(f) → Im(f)\\) — изоморфизм для всех \\(f\\)"
        }
      ],
      "name": "abelian_category",
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
      "kind": "constraint",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "0109: a category is abelian if it is additive, all kernels and cokernels exist, and \\(Coim(f) → Im(f)\\) is an isomorphism for all \\(f\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и \\(Coim(f) → Im(f)\\) — изоморфизм для всех \\(f\\)"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:categories"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "0109: a category is abelian if it is additive, all kernels and cokernels exist, and \\(Coim(f) → Im(f)\\) is an isomorphism for all \\(f\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и \\(Coim(f) → Im(f)\\) — изоморфизм для всех \\(f\\)"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#additive_category",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "0104: the category is additive"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "0104: категория аддитивна"
        }
      ],
      "name": "additive_category",
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:categories#additive_category/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "the natural map \\(Coim(f) → Im(f)\\) is an isomorphism for all morphisms \\(f\\) of the category"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "естественное отображение \\(Coim(f) → Im(f)\\) есть изоморфизм для всех морфизмов \\(f\\) категории"
        }
      ],
      "name": "coimage_to_image_isomorphism",
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "the category has enough injectives: every object \\(A\\) has an injective morphism \\(A → J\\) into an injective object \\(J\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "в категории достаточно инъективных: у всякого объекта \\(A\\) есть инъективный морфизм \\(A → J\\) в инъективный объект \\(J\\)"
        }
      ],
      "name": "enough_injectives",
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "all cokernels exist in the category"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "в категории существуют все коядра"
        }
      ],
      "name": "has_all_cokernels",
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "all kernels exist in the category"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "в категории существуют все ядра"
        }
      ],
      "name": "has_all_kernels",
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "00ZY: every \\(Mor(x, y)\\) is an abelian group and composition is bilinear"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "00ZY: каждое \\(Mor(x, y)\\) — абелева группа, композиция билинейна"
        }
      ],
      "name": "preadditive_category",
      "package": "urn:stacks:clir:categories",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:categories#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:category-theory#Category",
      "kind": "type_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "category"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "категория"
        }
      ],
      "name": "Category",
      "package": "urn:stacks:clir:category-theory"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:category-theory#Obj",
      "kind": "type_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "object of a category"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "объект категории"
        }
      ],
      "name": "Obj",
      "package": "urn:stacks:clir:category-theory"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "001S: products \\(x × y\\) exist for all pairs of objects, hence all finite products"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "001S: произведения \\(x × y\\) существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения"
        }
      ],
      "name": "has_finite_products",
      "package": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:category-theory#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "the object belongs to the category: \\(x ∈ Ob(C)\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "объект принадлежит категории: \\(x ∈ Ob(C)\\)"
        }
      ],
      "name": "object_of",
      "package": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of/arg/x",
          "labels": [],
          "name": "x",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:category-theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of/arg/c",
          "labels": [],
          "name": "c",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:category-theory#Category"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "013K (1): in an abelian category with enough injectives any object has an injective resolution"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "013K (1): в абелевой категории с достаточным запасом инъективных у всякого объекта есть инъективная резольвента"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "the object has an injective resolution"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "у объекта есть инъективная резольвента"
        }
      ],
      "name": "has_injective_resolution",
      "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#has_injective_resolution/arg/a",
          "labels": [],
          "name": "a",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:derived-functors#Obj"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    }
  ],
  "tables": []
}

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:16d96832d4b46160686e000373db91605fb7fe8a63485616e294fea65e774545",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
  "resultHash": "sha256:f65c6402e0f1650ff812e9ad868c34d07a4a8a444637c974636851f05dfd808d",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:d7027c8e083c40d975e580372c09b698fd7fc16444312120dbf99a9be532189b

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:x"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:x",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "object_of"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "has_injective_resolution",
  "proof": true
}

Достаточность инъективных объектов даёт резольвенту для каждого объекта категории.

Проверка условия

R¹ по инъективной резольвенте

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

015A: $R^nF(A) = H^n(RF(A[0]))$ — данный объект

f1xh1

Исходные факты

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: f
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: xc: cat-a
$K^•$ — комплекс в категории
k: ic: cat-a
013I (1): $I^n = 0$ при $n < 0$
k: i
013I (2): каждый $I^n$ — инъективный объект категории
k: i
013I (3): отображение $A → I^0$ — изоморфизм на $Ker(d^0)$
a: xk: i
013I (4): $H^i(I^•) = 0$ при $i > 0$
k: i
$F(K^•)$ — данный комплекс: $F$ , применённый к $K^•$ почленно
f: fk: ifk: f-i
$H^n(K^•)$ — данный объект
k: f-in: 1h: h1

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f",
    1,
    "urn:case:stacks:x",
    "urn:case:stacks:h1"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "homomorphism_on_hom_groups"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:x",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "object_of"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "predicate": "complex_in"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "vanishes_in_negative_degrees"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "terms_injective"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:x",
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "augmentation_onto_kernel"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "acyclic_in_positive_degrees"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:i",
        "urn:case:stacks:f-i"
      ],
      "predicate": "applied_complex"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f-i",
        1,
        "urn:case:stacks:h1"
      ],
      "predicate": "cohomology_of"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "right_derived",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода16 шагов

1
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: urn:case:stacks:f; a: urn:case:stacks:cat-a; b: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
2
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: urn:case:stacks:f
факт дела
3
00ZY: функтор предаддитивных категорий аддитивен, если он гомоморфизм абелевых групп на множествах морфизмов
функтор аддитивен: f: urn:case:stacks:f
тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups
правило
4
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: urn:case:stacks:x; c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
5
$K^•$ — комплекс в категории
k: urn:case:stacks:i; c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
6
013I (1): $I^n = 0$ при $n < 0$
k: urn:case:stacks:i
факт дела
7
013I (2): каждый $I^n$ — инъективный объект категории
k: urn:case:stacks:i
факт дела
8
013I (3): отображение $A → I^0$ — изоморфизм на $Ker(d^0)$
a: urn:case:stacks:x; k: urn:case:stacks:i
факт дела
9
013I (4): $H^i(I^•) = 0$ при $i > 0$
k: urn:case:stacks:i
факт дела
10
013I: инъективная резольвента $A$ — комплекс $I^•$ с $A → I^0$ , такой что (1) $I^n = 0$ при $n < 0$ , (2) каждый $I^n$ инъективен, (3) $A → I^0$ — изоморфизм на $Ker(d^0)$ , (4) $H^i(I^•) = 0$ при $i > 0$
k: urn:case:stacks:i; a: urn:case:stacks:x
тег 013I
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#injective_resolution/sufficient
правило
11
05TH (1) с 013I: инъективная резольвента $I^•$ объекта $A$ — ограниченный снизу комплекс инъективных, потому вычисляет $RF$ для любого аддитивного $F : A → B$
05SX: комплекс $K^•$ вычисляет $RF$ : $RF$ определён в $K^•$ и $F(K^•) → RF(K^•)$ — изоморфизм: k: urn:case:stacks:i; f: urn:case:stacks:f
тег 05TH, тег 013I
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionComputesRF
правило
12
013I: инъективная резольвента $A → I^•$ — квазиизоморфизм $A[0] → I^•$ , и $I^•$ ограничен снизу по (1)
$K^•$ резольвирует $A$ : $K^•$ ограничен снизу и $A[0] → K^•$ — квазиизоморфизм: k: urn:case:stacks:i; a: urn:case:stacks:x
тег 013I
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionResolves
правило
13
$F(K^•)$ — данный комплекс: $F$ , применённый к $K^•$ почленно
f: urn:case:stacks:f; k: urn:case:stacks:i; fk: urn:case:stacks:f-i
факт дела
14
$H^n(K^•)$ — данный объект
k: urn:case:stacks:f-i; n: 1; h: urn:case:stacks:h1
факт дела
15
015A с 05SX: если $K^•$ резольвирует $A$ и вычисляет $RF$ , то $R^nF(A) = H^n(F(K^•))$
015A: $R^nF(A) = H^n(RF(A[0]))$ — данный объект: f: urn:case:stacks:f; n: 1; a: urn:case:stacks:x; h: urn:case:stacks:h1
тег 015A, тег 05SX, тег 013I
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RightDerivedByResolution
правило
16
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 6 · факт дела: 10 · Полный граф: 38 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

00ZY: функтор предаддитивных категорий аддитивен, если он гомоморфизм абелевых групп на множествах морфизмов
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TH (1) с 013I: инъективная резольвента $I^•$ объекта $A$ — ограниченный снизу комплекс инъективных, потому вычисляет $RF$ для любого аддитивного $F : A → B$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionComputesRF
013I: инъективная резольвента $A → I^•$ — квазиизоморфизм $A[0] → I^•$ , и $I^•$ ограничен снизу по (1)
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionResolves
015A с 05SX: если $K^•$ резольвирует $A$ и вычисляет $RF$ , то $R^nF(A) = H^n(F(K^•))$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RightDerivedByResolution
013I: инъективная резольвента $A$ — комплекс $I^•$ с $A → I^0$ , такой что (1) $I^n = 0$ при $n < 0$ , (2) каждый $I^n$ инъективен, (3) $A → I^0$ — изоморфизм на $Ker(d^0)$ , (4) $H^i(I^•) = 0$ при $i > 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#injective_resolution/sufficient

Другие правила расчёта6

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor
013K (1): в абелевой категории с достаточным запасом инъективных у всякого объекта есть инъективная резольвента
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Вывод по запросу

015A: $R^nF(A) = H^n(RF(A[0]))$ — данный объект
f: fn: 1a: xh: h1

Другие выводы8

функтор аддитивен
f: f
коцепной комплекс
k: i
Общий субъект фактов ниже
013I: инъективная резольвента $A$ — комплекс $I^•$ с $A → I^0$ , такой что (1) $I^n = 0$ при $n < 0$ , (2) каждый $I^n$ инъективен, (3) $A → I^0$ — изоморфизм на $Ker(d^0)$ , (4) $H^i(I^•) = 0$ при $i > 0$
a: x
05SX: комплекс $K^•$ вычисляет $RF$ : $RF$ определён в $K^•$ и $F(K^•) → RF(K^•)$ — изоморфизм
f: f
$K^•$ резольвирует $A$ : $K^•$ ограничен снизу и $A[0] → K^•$ — квазиизоморфизм
a: x
у объекта есть инъективная резольвента
a: x
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f: f
05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f: f
05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f: f

функтор аддитивен
f
urn:case:stacks:f

013I: инъективная резольвента $A$ — комплекс $I^•$ с $A → I^0$ , такой что (1) $I^n = 0$ при $n < 0$ , (2) каждый $I^n$ инъективен, (3) $A → I^0$ — изоморфизм на $Ker(d^0)$ , (4) $H^i(I^•) = 0$ при $i > 0$
k	a
urn:case:stacks:i	x

05SX: комплекс $K^•$ вычисляет $RF$ : $RF$ определён в $K^•$ и $F(K^•) → RF(K^•)$ — изоморфизм
k	f
urn:case:stacks:i	f

$K^•$ резольвирует $A$ : $K^•$ ограничен снизу и $A[0] → K^•$ — квазиизоморфизм
k	a
urn:case:stacks:i	x

Граф связей

015A: $R^nF(A) = H^n(RF(A[0]))$ — данный объект
f	n	a	h
f	1	x	h1

у объекта есть инъективная резольвента
a
x

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f
f

05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f
f

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f
f

Скрыто выведенных фактов: 4. В кратком ответе движок оставляет относящиеся к вопросу; полный перечень — в JSON расчёта ниже.

Граф доказательств

Граф доказательства · 5 слой

Узлы доказательств: 38 · assertion 21, rule_application 13, constraint_check 3, query_evaluation 1

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

ИсточникиФрагментов: 13

tag/013I

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Let $A \in \Ob(\mathcal{A})$ . An injective resolution of $A$ is a complex $I^\bullet$ together with a map $A \to I^0$ such that:
We have $I^n = 0$ for $n < 0$ .
Each $I^n$ is an injective object of $\mathcal{A}$ .
The map $A \to I^0$ is an isomorphism onto $\Ker(d^0)$ .
We have $H^i(I^\bullet) = 0$ for $i > 0$ . Hence $A[0] \to I^\bullet$ is a quasi-isomorphism. In other words the complex
$\ldots \to 0 \to A \to I^0 \to I^1 \to \ldots$
is acyclic. Let $K^\bullet$ be a complex in $\mathcal{A}$ . An injective resolution of $K^\bullet$ is a complex $I^\bullet$ together with a map $\alpha : K^\bullet \to I^\bullet$ of complexes such that
We have $I^n = 0$ for $n \ll 0$ , i.e., $I^\bullet$ is bounded below.
Each $I^n$ is an injective object of $\mathcal{A}$ .
The map $\alpha : K^\bullet \to I^\bullet$ is a quasi-isomorphism.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d7c48bc941098921fd33924bd407abc5291d88b9236a485cdaaf7aa25e9d0832",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013I",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/013I",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:7330949afd1629e09a53e8833569efe91f5d8ca6b7368e0a68a87d0caa530934",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-injective-resolution}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nLet $A \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\nAn {\\it injective resolution of $A$} is a complex\n$I^\\bullet$ together with a map $A \\to I^0$ such\nthat:\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $I^n = 0$ for $n < 0$.\n\\item Each $I^n$ is an injective object of $\\mathcal{A}$.\n\\item The map $A \\to I^0$ is an isomorphism onto $\\Ker(d^0)$.\n\\item We have $H^i(I^\\bullet) = 0$ for $i > 0$.\n\\end{enumerate}\nHence $A[0] \\to I^\\bullet$ is a quasi-isomorphism.\nIn other words the complex\n$$\n\\ldots \\to 0 \\to A \\to I^0 \\to I^1 \\to \\ldots\n$$\nis acyclic.\nLet $K^\\bullet$ be a complex in $\\mathcal{A}$.\nAn {\\it injective resolution of $K^\\bullet$} is a complex\n$I^\\bullet$ together with a map $\\alpha : K^\\bullet \\to I^\\bullet$\nof complexes such that\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $I^n = 0$ for $n \\ll 0$, i.e., $I^\\bullet$ is bounded below.\n\\item Each $I^n$ is an injective object of $\\mathcal{A}$.\n\\item The map $\\alpha : K^\\bullet \\to I^\\bullet$ is a\nquasi-isomorphism.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/013K

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Assume $\mathcal{A}$ has enough injectives.
Any object of $\mathcal{A}$ has an injective resolution.
If $H^n(K^\bullet) = 0$ for all $n \ll 0$ then $K^\bullet$ has an injective resolution.
If $K^\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$ , then there exists an injective resolution $\alpha : K^\bullet \to I^\bullet$ with $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\alpha^n : K^n \to I^n$ is injective.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:9698ad04b03a0ca888a87e8f88e9925a856764046ae30cfb569730f33de5c92d",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/013K",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:869cffaf0235a6f9d2d38c26d042d9ff1c0bbfae733cd1cdcc72af28b5bc8fa4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-resolutions-exist}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nAssume $\\mathcal{A}$ has enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item Any object of $\\mathcal{A}$ has an injective resolution.\n\\item If $H^n(K^\\bullet) = 0$ for all $n \\ll 0$ then\n$K^\\bullet$ has an injective resolution.\n\\item If $K^\\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$, then\nthere exists an injective resolution $\\alpha : K^\\bullet \\to I^\\bullet$\nwith $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\\alpha^n : K^n \\to I^n$ is\ninjective.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/015A

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories. Assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined. Let $i \in \mathbf{Z}$ . The $i$ th right derived functor $R^iF$ of $F$ is the functor
$R^iF = H^i \circ RF : \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:713c25b819cf11bf73664db0382e1e6093ee2fc2aef860be0a5c1844def10500",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015A",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015A",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:7ecd153a29139bad7c85e08acd4818c3aedb736903c0a95c5400227dea7d508d",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-higher-derived-functors}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories. Assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined. Let $i \\in \\mathbf{Z}$.\nThe {\\it $i$th right derived functor $R^iF$ of $F$} is the functor\n$$\nR^iF = H^i \\circ RF :\n\\mathcal{A}\n\\longrightarrow\n\\mathcal{B}\n$$\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05SV

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05SX

In Situation .
An object $X$ of $\mathcal{D}$ computes $RF$ if $RF$ is defined at $X$ and the canonical map $F(X) \to RF(X)$ is an isomorphism.
An object $X$ of $\mathcal{D}$ computes $LF$ if $LF$ is defined at $X$ and the canonical map $LF(X) \to F(X)$ is an isomorphism.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:6d9640352974ec06f445076630ee0495e5463224a1f554aea25ab8abb8f231b0",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SX",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SX",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:a12a542d90fce40869d878a5e1f1be4adaed0407a78b0a5d0febeb73e30ca0b5",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-computes}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\begin{enumerate}\n\\item An object $X$ of $\\mathcal{D}$ {\\it computes} $RF$ if $RF$ is defined\nat $X$ and the canonical map $F(X) \\to RF(X)$ is an isomorphism.\n\\item An object $X$ of $\\mathcal{D}$ {\\it computes} $LF$ if $LF$ is defined\nat $X$ and the canonical map $LF(X) \\to F(X)$ is an isomorphism.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TH

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Let $I \in \Ob(\mathcal{A})$ be an injective object. Let $I^\bullet$ be a bounded below complex of injectives in $\mathcal{A}$ .
$I^\bullet$ computes $RF$ relative to $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ for any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into any triangulated category $\mathcal{D}$ .
$I$ is right acyclic for any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into any abelian category $\mathcal{B}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:67d5bab826525b8b40aa6d952b68667e49a96a051a298a45f2890a4bfb11950e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TH",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TH",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e032a20e4fb0e18232eca1300982b8c867068569810bf8e4474e48073cab1465",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-acyclic}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nLet $I \\in \\Ob(\\mathcal{A})$ be an injective object.\nLet $I^\\bullet$ be a bounded below complex of injectives in $\\mathcal{A}$.\n\\begin{enumerate}\n\\item $I^\\bullet$ computes $RF$ relative to $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$\nfor any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto any triangulated category $\\mathcal{D}$.\n\\item $I$ is right acyclic for any additive functor\n$F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into any abelian category $\\mathcal{B}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/00ZY

A category $\mathcal{A}$ is called preadditive if each morphism set $\Mor_\mathcal{A}(x, y)$ is endowed with the structure of an abelian group such that the compositions
$\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)$
are bilinear. A functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ of preadditive categories is called additive if and only if $F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))$ is a homomorphism of abelian groups for all $x, y \in \Ob(\mathcal{A})$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:600a2de3027b9725e89be51b838fa162e7bdc03f62971f32609663a9cc1b9bb7",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/00ZY",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f2f20a29e596bff02bee9eee017d5b551092a1e17065b3a0638ec31466e411c6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-preadditive}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it preadditive} if each\nmorphism set $\\Mor_\\mathcal{A}(x, y)$ is endowed\nwith the structure of an abelian group such that the\ncompositions\n$$\n\\Mor(x, y) \\times \\Mor(y, z)\n\\longrightarrow\n\\Mor(x, z)\n$$\nare bilinear. A functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ of\npreadditive categories is called {\\it additive} if and only\nif $F : \\Mor(x, y) \\to \\Mor(F(x), F(y))$\nis a homomorphism of abelian groups for all\n$x, y \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0104

A category $\mathcal{A}$ is called additive if it is preadditive and finite products exist, in other words it has a zero object and direct sums.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2b8975d051697a9db95b3ff7f3fce2d90115db719d17e8fcc2f0682f0a58388a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0104",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:675cbb2c05ee57eb18db573e06c5dd58bc69ba38f1dc3b21733b091d62655a30",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-additive-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it additive}\nif it is preadditive and finite products exist, in other\nwords it has a zero object and direct sums.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

right_derived: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: additive_functor(urn:case:stacks:f); injective_resolution(urn:case:stacks:i, urn:case:stacks:x); computes_rf(urn:case:stacks:i, urn:case:stacks:f); resolution_of(urn:case:stacks:i, urn:case:stacks:x); right_derived(urn:case:stacks:f, 1, urn:case:stacks:x, urn:case:stacks:h1); has_injective_resolution(urn:case:stacks:x); rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f); derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f); negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f) …и ещё 4 выведенных фактов вне предмета вопроса (полный вывод — law_explain) Применены правила: AdditiveByFiniteProducts, AdditiveByHomGroups, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, InjectiveResolutionComputesRF, InjectiveResolutionResolves, InjectiveResolutionsExist, NegativeDerivedVanish, RFEverywhereDefined, RightDerivedByResolution, injective_resolution/sufficient Право (вне юрисдикции государства): Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — доктрина (programHash sha256:b70b54495375…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 38 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013I",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015A",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SX",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TH",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:f9ff449733f859e1cbd1ccd89d5c53fed6bcf354e717972026f4805b743e759b",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
  "resultHash": "sha256:9a35ac0bc226bc93d7a84a40c17a9ee6d2997c40b69b0e950c6ebc3437a14391",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:da8cfaaf7600ffce90fe2000d08ab9ab35941d180ffe573d88ef188855508fb9

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f",
    1,
    "urn:case:stacks:x",
    "urn:case:stacks:h1"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "homomorphism_on_hom_groups"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:x",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "object_of"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "predicate": "complex_in"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "vanishes_in_negative_degrees"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "terms_injective"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:x",
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "augmentation_onto_kernel"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:i"
      ],
      "predicate": "acyclic_in_positive_degrees"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:i",
        "urn:case:stacks:f-i"
      ],
      "predicate": "applied_complex"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f-i",
        1,
        "urn:case:stacks:h1"
      ],
      "predicate": "cohomology_of"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "right_derived",
  "proof": true
}

Первый производный считается как когомология комплекса, полученного применением функтора к резольвенте.

Проверка условия

Инъективный объект ацикличен

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

015C: $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$

Исходные факты

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: f
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: jc: cat-a
для всякой инъекции $A ↪ B$ и всякого морфизма $A → J$ существует морфизм $B → J$ , замыкающий диаграмму
j: j

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f",
    "urn:case:stacks:j"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preserves_left_exactness"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:j",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "object_of"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:j"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "lifting_property"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "higher_derived_vanish",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода26 шагов

1
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
2
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
3
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
4
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: urn:case:stacks:f; a: urn:case:stacks:cat-a; b: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
5
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: urn:case:stacks:f
факт дела
6
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
0034 (1): функтор точен слева: f: urn:case:stacks:f
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
правило
7
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
функтор аддитивен: f: urn:case:stacks:f
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
правило
8
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: urn:case:stacks:j; c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
9
для всякой инъекции $A ↪ B$ и всякого морфизма $A → J$ существует морфизм $B → J$ , замыкающий диаграмму
j: urn:case:stacks:j
факт дела
10
0135: объект $J$ инъективен, если всякий морфизм $A → J$ продолжается вдоль всякой инъекции $A ↪ B$
объект инъективен: j: urn:case:stacks:j
тег 0135
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#InjectiveByLifting
правило
11
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
12
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
13
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
14
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
15
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
16
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
17
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
18
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
19
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
20
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
21
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
22
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
23
05TH (2): инъективный объект $I$ правый ацикличный для любого аддитивного функтора $F : A → B$ в абелеву категорию
0157 (3): объект $A$ правый ацикличный для $F$ : $A[0]$ вычисляет $RF$ : a: urn:case:stacks:j; f: urn:case:stacks:f
тег 05TH, тег 05T4
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveIsRightAcyclic
правило
24
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду: f: urn:case:stacks:f
тег 05TI, тег 05SV, тег 05T4
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined
правило
25
015C (2): если $F$ точен слева, $RF$ определён всюду и $A$ правый ацикличный для $F$ , то $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
015C: $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$ : f: urn:case:stacks:f; a: urn:case:stacks:j
тег 015C
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#HigherDerivedVanishForAcyclic
правило
26
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 11 · факт дела: 15 · Полный граф: 33 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
0135: объект $J$ инъективен, если всякий морфизм $A → J$ продолжается вдоль всякой инъекции $A ↪ B$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#InjectiveByLifting
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

015C (2): если $F$ точен слева, $RF$ определён всюду и $A$ правый ацикличный для $F$ , то $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#HigherDerivedVanishForAcyclic
05TH (2): инъективный объект $I$ правый ацикличный для любого аддитивного функтора $F : A → B$ в абелеву категорию
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveIsRightAcyclic
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Другие правила расчёта5

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor
015B (4): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ точен слева, то $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor
013K (1): в абелевой категории с достаточным запасом инъективных у всякого объекта есть инъективная резольвента
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish
05TD (3): если $RF$ определён всюду и $F$ точен слева, то $F → R^0F$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact

Вывод по запросу

015C: $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
f: fa: j

Другие выводы10

0034 (1): функтор точен слева
f: f
функтор аддитивен
f: f
объект инъективен
j: j
у объекта есть инъективная резольвента
a: j
015B (4): последовательность $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор (010S) из $A$ в $B$
f: f
0157 (3): объект $A$ правый ацикличный для $F$ : $A[0]$ вычисляет $RF$
a: jf: f
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f: f
05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f: f
05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f: f
05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм
f: f

0034 (1): функтор точен слева
f
f

функтор аддитивен
f
urn:case:stacks:f

объект инъективен
j
urn:case:stacks:j

у объекта есть инъективная резольвента
a
j

015B (4): последовательность $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор (010S) из $A$ в $B$
f
f

Граф связей

0157 (3): объект $A$ правый ацикличный для $F$ : $A[0]$ вычисляет $RF$
a	f
j	f

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f
f

05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f
f

Граф связей

015C: $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
f	a
f	j

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f
f

05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм
f
f

Граф доказательств

Граф доказательства · 6 слой

Узлы доказательств: 33 · assertion 15, rule_application 15, constraint_check 2, query_evaluation 1

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

ИсточникиФрагментов: 14

tag/013K

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Assume $\mathcal{A}$ has enough injectives.
Any object of $\mathcal{A}$ has an injective resolution.
If $H^n(K^\bullet) = 0$ for all $n \ll 0$ then $K^\bullet$ has an injective resolution.
If $K^\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$ , then there exists an injective resolution $\alpha : K^\bullet \to I^\bullet$ with $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\alpha^n : K^n \to I^n$ is injective.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:9698ad04b03a0ca888a87e8f88e9925a856764046ae30cfb569730f33de5c92d",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/013K",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:869cffaf0235a6f9d2d38c26d042d9ff1c0bbfae733cd1cdcc72af28b5bc8fa4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-resolutions-exist}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nAssume $\\mathcal{A}$ has enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item Any object of $\\mathcal{A}$ has an injective resolution.\n\\item If $H^n(K^\\bullet) = 0$ for all $n \\ll 0$ then\n$K^\\bullet$ has an injective resolution.\n\\item If $K^\\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$, then\nthere exists an injective resolution $\\alpha : K^\\bullet \\to I^\\bullet$\nwith $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\\alpha^n : K^n \\to I^n$ is\ninjective.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/015B

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a left exact functor.
For any short exact sequence $0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0$ of complexes in $\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})$ there is an associated long exact sequence
$\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots$
The functors $R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ are zero for $i < 0$ . Also $R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ .
We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.
The sequence $(R^iF, \delta)$ forms a universal $\delta$ -functor (see Homology, Definition ) from $\mathcal{A}$ to $\mathcal{B}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:4afa5f4b9810c92dab35571346daba32fe103025b5c3cd8088dbd7e54ecd20fe",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015B",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:dfebd11201136d7893be34773ff7fda188a8b1936ac0ddeff5a25c3f02c5f5a0",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-higher-derived-functors}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a left exact functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any short exact sequence\n$0 \\to A^\\bullet \\to B^\\bullet \\to C^\\bullet \\to 0$\nof complexes in $\\text{Comp}^{+}(\\mathcal{A})$ there\nis an associated long exact sequence\n$$\n\\ldots \\to\nH^i(RF(A^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(B^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(C^\\bullet)) \\to\nH^{i + 1}(RF(A^\\bullet)) \\to \\ldots\n$$\n\\item The functors $R^iF : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$\nare zero for $i < 0$. Also $R^0F = F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$.\n\\item We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.\n\\item The sequence $(R^iF, \\delta)$ forms a universal $\\delta$-functor (see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor})\nfrom $\\mathcal{A}$ to $\\mathcal{B}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/015C

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined. Let $A$ be an object of $\mathcal{A}$ .
$A$ is right acyclic for $F$ if and only if $F(A) \to R^0F(A)$ is an isomorphism and $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$ ,
if $F$ is left exact, then $A$ is right acyclic for $F$ if and only if $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:e250263a8b2f3813392cdbde3901795ceda78f89b9865dfdc2a7794d781e519a",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015C",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015C",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:d0947fabef80aaa804f6f4635edca13dba8e17d1cdf28aacd25709217ffafa46",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-F-acyclic}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined. Let $A$ be an object of $\\mathcal{A}$.\n\\begin{enumerate}\n\\item $A$ is right acyclic for $F$ if and only if\n$F(A) \\to R^0F(A)$ is an isomorphism and $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$,\n\\item if $F$ is left exact, then $A$ is right acyclic for $F$\nif and only if $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05SV

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TH

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Let $I \in \Ob(\mathcal{A})$ be an injective object. Let $I^\bullet$ be a bounded below complex of injectives in $\mathcal{A}$ .
$I^\bullet$ computes $RF$ relative to $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ for any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into any triangulated category $\mathcal{D}$ .
$I$ is right acyclic for any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into any abelian category $\mathcal{B}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:67d5bab826525b8b40aa6d952b68667e49a96a051a298a45f2890a4bfb11950e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TH",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TH",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e032a20e4fb0e18232eca1300982b8c867068569810bf8e4474e48073cab1465",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-acyclic}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nLet $I \\in \\Ob(\\mathcal{A})$ be an injective object.\nLet $I^\\bullet$ be a bounded below complex of injectives in $\\mathcal{A}$.\n\\begin{enumerate}\n\\item $I^\\bullet$ computes $RF$ relative to $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$\nfor any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto any triangulated category $\\mathcal{D}$.\n\\item $I$ is right acyclic for any additive functor\n$F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into any abelian category $\\mathcal{B}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/00ZY

A category $\mathcal{A}$ is called preadditive if each morphism set $\Mor_\mathcal{A}(x, y)$ is endowed with the structure of an abelian group such that the compositions
$\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)$
are bilinear. A functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ of preadditive categories is called additive if and only if $F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))$ is a homomorphism of abelian groups for all $x, y \in \Ob(\mathcal{A})$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:600a2de3027b9725e89be51b838fa162e7bdc03f62971f32609663a9cc1b9bb7",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/00ZY",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f2f20a29e596bff02bee9eee017d5b551092a1e17065b3a0638ec31466e411c6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-preadditive}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it preadditive} if each\nmorphism set $\\Mor_\\mathcal{A}(x, y)$ is endowed\nwith the structure of an abelian group such that the\ncompositions\n$$\n\\Mor(x, y) \\times \\Mor(y, z)\n\\longrightarrow\n\\Mor(x, z)\n$$\nare bilinear. A functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ of\npreadditive categories is called {\\it additive} if and only\nif $F : \\Mor(x, y) \\to \\Mor(F(x), F(y))$\nis a homomorphism of abelian groups for all\n$x, y \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0104

A category $\mathcal{A}$ is called additive if it is preadditive and finite products exist, in other words it has a zero object and direct sums.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2b8975d051697a9db95b3ff7f3fce2d90115db719d17e8fcc2f0682f0a58388a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0104",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:675cbb2c05ee57eb18db573e06c5dd58bc69ba38f1dc3b21733b091d62655a30",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-additive-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it additive}\nif it is preadditive and finite products exist, in other\nwords it has a zero object and direct sums.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/010N

Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ be abelian categories. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a functor.
If $F$ is either left or right exact, then it is additive.
$F$ is left exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ is exact.
$F$ is right exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.
$F$ is exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:64c741ef9deb2269f16508f201759a9d9bd1691e833d5213c0a244b78a7ce59a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/010N",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e66f034eeeacfcb7b11738065188279ef03410097d4c35d3837c698b10ba0cab",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-exact-functor}\nLet $\\mathcal{A}$ and $\\mathcal{B}$ be abelian categories.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item If $F$ is either left or right exact, then it is additive.\n\\item $F$ is left exact if and only if\nfor every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C)$\nis exact.\n\\item $F$ is right exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\item $F$ is exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0135

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. An object $J \in \Ob(\mathcal{A})$ is called injective if for every injection $A \hookrightarrow B$ and every morphism $A \to J$ there exists a morphism $B \to J$ making the following diagram commute
\xymatrix{
A \ar[r] \ar[d] & B \ar@{-->}[ld] \\
J &
}
Диаграмма: исходный TeX

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2ae5842758866ecdbe553b178de00c7c3e8ea454e1a32ff6ed155b6671ddb454",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0135",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0135",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3b91442b6a83fe54c0144799446ea4e30d2c23f4f254154a4942fbe3fda8bb46",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-injective}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nAn object $J \\in \\Ob(\\mathcal{A})$ is\ncalled {\\it injective} if for every injection\n$A \\hookrightarrow B$ and every morphism\n$A \\to J$ there exists a morphism $B \\to J$ making\nthe following diagram commute\n$$\n\\xymatrix{\nA \\ar[r] \\ar[d] & B \\ar@{-->}[ld] \\\\\nJ &\n}\n$$\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

higher_derived_vanish: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: left_exact_functor(urn:case:stacks:f); additive_functor(urn:case:stacks:f); injective_object(urn:case:stacks:j); has_injective_resolution(urn:case:stacks:j); derived_functors_universal(urn:case:stacks:f); right_acyclic_for(urn:case:stacks:j, urn:case:stacks:f); rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f); derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f); higher_derived_vanish(urn:case:stacks:f, urn:case:stacks:j); negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f); r0_agrees_with_f(urn:case:stacks:f) …и ещё 4 выведенных фактов вне предмета вопроса (полный вывод — law_explain) Применены правила: AdditiveByFiniteProducts, InjectiveByLifting, LeftExactBySES, LeftExactIsAdditive, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, DerivedUniversalDeltaFunctor, HigherDerivedVanishForAcyclic, InjectiveIsRightAcyclic, InjectiveResolutionsExist, NegativeDerivedVanish, R0AgreesIfLeftExact, RFEverywhereDefined Право (вне юрисдикции государства): Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — доктрина (programHash sha256:b70b54495375…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 33 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015C",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TH",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0135"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:e482d3959e5d5cb948a843752a6eb5b479eeb9fbeb2673aa05f7c1463c160542",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
  "resultHash": "sha256:948ded4c9addb13dfd2ef08b0a73e97303a07d94cae1b83b553c0a82e679e515",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:6e0eddcf0aed8ec14fa826816d484cb45735200fe99db7335f88eca9a74e8552

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f",
    "urn:case:stacks:j"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preserves_left_exactness"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:j",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "object_of"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:j"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "lifting_property"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "higher_derived_vanish",
  "proof": true
}

На инъективном объекте производные положительной степени обращаются в нуль.

Проверка условия

R⁰F совпадает с F при левой точности

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм

Исходные факты

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: f

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preserves_left_exactness"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "r0_agrees_with_f",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода22 шагов

1
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
2
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
3
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
4
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: urn:case:stacks:f; a: urn:case:stacks:cat-a; b: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
5
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: urn:case:stacks:f
факт дела
6
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
0034 (1): функтор точен слева: f: urn:case:stacks:f
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
правило
7
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
функтор аддитивен: f: urn:case:stacks:f
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
правило
8
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
9
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
10
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
11
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
12
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
13
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
14
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
15
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
16
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
17
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
18
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
19
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
20
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду: f: urn:case:stacks:f
тег 05TI, тег 05SV, тег 05T4
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined
правило
21
05TD (3): если $RF$ определён всюду и $F$ точен слева, то $F → R^0F$ — изоморфизм
05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм: f: urn:case:stacks:f
тег 05TD
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact
правило
22
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 9 · факт дела: 13 · Полный граф: 27 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TD (3): если $RF$ определён всюду и $F$ точен слева, то $F → R^0F$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Другие правила расчёта3

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor
015B (4): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ точен слева, то $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish

Вывод по запросу

05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм
f: f

Другие выводы10

0034 (1): функтор точен слева
f: f
функтор аддитивен
f: f
0104: категория аддитивна
c: cat-a
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-a
0104: категория аддитивна
c: cat-b
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-b
015B (4): последовательность $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор (010S) из $A$ в $B$
f: f
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f: f
05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f: f
05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f: f

0034 (1): функтор точен слева
f
f

функтор аддитивен
f
urn:case:stacks:f

0104: категория аддитивна
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

015B (4): последовательность $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор (010S) из $A$ в $B$
f
f

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f
f

05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f
f

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f
f

05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм
f
f

Граф доказательств

Граф доказательства · 6 слой

Узлы доказательств: 27 · assertion 13, rule_application 11, constraint_check 2, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10

attributes

assertion: fact-10

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-10

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11

attributes

assertion: fact-11

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

enough_injectives

evidence

—

Идентификатор

fact-11

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12

attributes

assertion: fact-12

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

functor_between

evidence

—

Идентификатор

fact-12

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13

attributes

assertion: fact-13

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preserves_left_exactness

evidence

—

Идентификатор

fact-13

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

left_exact_functor

evidence

—

Идентификатор

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41

Тип

rule_application

Посылки

fact-13

Правило

LeftExactBySES

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:LeftExactIsAdditive:4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_functor

evidence

—

Идентификатор

4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258

Тип

rule_application

Посылки

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41

Правило

LeftExactIsAdditive

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3

attributes

assertion: fact-3

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-3

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4

attributes

assertion: fact-4

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-4

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5

attributes

assertion: fact-5

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-5

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

Тип

rule_application

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
fact-3
fact-4
fact-5

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6

attributes

assertion: fact-6

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-6

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7

attributes

assertion: fact-7

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-7

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

Тип

rule_application

Посылки

fact-6
fact-7

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8

attributes

assertion: fact-8

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-8

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9

attributes

assertion: fact-9

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-9

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

Тип

rule_application

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
fact-10
fact-8
fact-9

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:DerivedUniversalDeltaFunctor:d4dce774b8eebd84a8bbb1a4222674523e7f4d3bdc1a48ce605711cb14709f7e

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

derived_functors_universal

evidence

—

Идентификатор

d4dce774b8eebd84a8bbb1a4222674523e7f4d3bdc1a48ce605711cb14709f7e

Тип

rule_application

Посылки

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-11
fact-12

Правило

DerivedUniversalDeltaFunctor

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

rf_everywhere_defined

evidence

—

Идентификатор

c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Тип

rule_application

Посылки

4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-11
fact-12

Правило

RFEverywhereDefined

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:4897774f16e9f0a93ddf301cff8ae4daf84d7c5fbc09f1dc30947c6a8ecff70d

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

derived_functors_form_delta_functor

evidence

—

Идентификатор

4897774f16e9f0a93ddf301cff8ae4daf84d7c5fbc09f1dc30947c6a8ecff70d

Тип

rule_application

Посылки

c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Правило

DerivedFormDeltaFunctor

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:cba76e4e91360036b33877f83bc4be3f3b0ec09c661fda986f45f17b90b6c383

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

negative_derived_functors_vanish

evidence

—

Идентификатор

cba76e4e91360036b33877f83bc4be3f3b0ec09c661fda986f45f17b90b6c383

Тип

rule_application

Посылки

c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Правило

NegativeDerivedVanish

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:R0AgreesIfLeftExact:94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

r0_agrees_with_f

evidence

—

Идентификатор

94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266

Тип

rule_application

Посылки

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41
c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Правило

R0AgreesIfLeftExact

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

Тип

constraint_check

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-10
fact-8
fact-9

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

Тип

constraint_check

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
fact-3
fact-4
fact-5

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

r0_agrees_with_f

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "left_exact_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "derived_functors_universal(urn:case:stacks:f)",
    "rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f)",
    "derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f)",
    "negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f)",
    "r0_agrees_with_f(urn:case:stacks:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-10"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-11"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-12"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-13"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preserves_left_exactness"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#left_exact_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:LeftExactIsAdditive:4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-8"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-9"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_universal"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedUniversalDeltaFunctor:d4dce774b8eebd84a8bbb1a4222674523e7f4d3bdc1a48ce605711cb14709f7e",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactIsAdditive:4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_form_delta_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:4897774f16e9f0a93ddf301cff8ae4daf84d7c5fbc09f1dc30947c6a8ecff70d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:cba76e4e91360036b33877f83bc4be3f3b0ec09c661fda986f45f17b90b6c383",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#r0_agrees_with_f"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:R0AgreesIfLeftExact:94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41",
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:f",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#r0_agrees_with_f"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:R0AgreesIfLeftExact:94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:a55a48a8a0fc1f94fdabf166411dde682389b6e37b20f562c9c78cb10b2b92bf",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:cc8e232a999916a79d443dadb84a6a337eb7749cc48116ea22d80d817700f20e",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES",
    "urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined"
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 10

tag/015B

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a left exact functor.
For any short exact sequence $0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0$ of complexes in $\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})$ there is an associated long exact sequence
$\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots$
The functors $R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ are zero for $i < 0$ . Also $R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ .
We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.
The sequence $(R^iF, \delta)$ forms a universal $\delta$ -functor (see Homology, Definition ) from $\mathcal{A}$ to $\mathcal{B}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:4afa5f4b9810c92dab35571346daba32fe103025b5c3cd8088dbd7e54ecd20fe",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015B",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:dfebd11201136d7893be34773ff7fda188a8b1936ac0ddeff5a25c3f02c5f5a0",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-higher-derived-functors}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a left exact functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any short exact sequence\n$0 \\to A^\\bullet \\to B^\\bullet \\to C^\\bullet \\to 0$\nof complexes in $\\text{Comp}^{+}(\\mathcal{A})$ there\nis an associated long exact sequence\n$$\n\\ldots \\to\nH^i(RF(A^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(B^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(C^\\bullet)) \\to\nH^{i + 1}(RF(A^\\bullet)) \\to \\ldots\n$$\n\\item The functors $R^iF : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$\nare zero for $i < 0$. Also $R^0F = F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$.\n\\item We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.\n\\item The sequence $(R^iF, \\delta)$ forms a universal $\\delta$-functor (see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor})\nfrom $\\mathcal{A}$ to $\\mathcal{B}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05SV

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/00ZY

A category $\mathcal{A}$ is called preadditive if each morphism set $\Mor_\mathcal{A}(x, y)$ is endowed with the structure of an abelian group such that the compositions
$\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)$
are bilinear. A functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ of preadditive categories is called additive if and only if $F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))$ is a homomorphism of abelian groups for all $x, y \in \Ob(\mathcal{A})$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:600a2de3027b9725e89be51b838fa162e7bdc03f62971f32609663a9cc1b9bb7",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/00ZY",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f2f20a29e596bff02bee9eee017d5b551092a1e17065b3a0638ec31466e411c6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-preadditive}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it preadditive} if each\nmorphism set $\\Mor_\\mathcal{A}(x, y)$ is endowed\nwith the structure of an abelian group such that the\ncompositions\n$$\n\\Mor(x, y) \\times \\Mor(y, z)\n\\longrightarrow\n\\Mor(x, z)\n$$\nare bilinear. A functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ of\npreadditive categories is called {\\it additive} if and only\nif $F : \\Mor(x, y) \\to \\Mor(F(x), F(y))$\nis a homomorphism of abelian groups for all\n$x, y \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0104

A category $\mathcal{A}$ is called additive if it is preadditive and finite products exist, in other words it has a zero object and direct sums.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2b8975d051697a9db95b3ff7f3fce2d90115db719d17e8fcc2f0682f0a58388a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0104",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:675cbb2c05ee57eb18db573e06c5dd58bc69ba38f1dc3b21733b091d62655a30",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-additive-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it additive}\nif it is preadditive and finite products exist, in other\nwords it has a zero object and direct sums.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/010N

Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ be abelian categories. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a functor.
If $F$ is either left or right exact, then it is additive.
$F$ is left exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ is exact.
$F$ is right exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.
$F$ is exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:64c741ef9deb2269f16508f201759a9d9bd1691e833d5213c0a244b78a7ce59a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/010N",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e66f034eeeacfcb7b11738065188279ef03410097d4c35d3837c698b10ba0cab",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-exact-functor}\nLet $\\mathcal{A}$ and $\\mathcal{B}$ be abelian categories.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item If $F$ is either left or right exact, then it is additive.\n\\item $F$ is left exact if and only if\nfor every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C)$\nis exact.\n\\item $F$ is right exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\item $F$ is exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

r0_agrees_with_f: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: left_exact_functor(urn:case:stacks:f); additive_functor(urn:case:stacks:f); additive_category(urn:case:stacks:cat-a); abelian_category(urn:case:stacks:cat-a); additive_category(urn:case:stacks:cat-b); abelian_category(urn:case:stacks:cat-b); derived_functors_universal(urn:case:stacks:f); rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f); derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f); negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f); r0_agrees_with_f(urn:case:stacks:f) Применены правила: AdditiveByFiniteProducts, LeftExactBySES, LeftExactIsAdditive, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, DerivedUniversalDeltaFunctor, NegativeDerivedVanish, R0AgreesIfLeftExact, RFEverywhereDefined Право (вне юрисдикции государства): Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — доктрина (programHash sha256:b70b54495375…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 27 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_010N"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:6d3ce68db48741c17f22dd5853ca7a372d510f6347d629f3962ee4a413fb458d",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
  "resultHash": "sha256:cc8e232a999916a79d443dadb84a6a337eb7749cc48116ea22d80d817700f20e",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:c21563e6d8c2153d4e7b33a3cdb5e524b00231b05e64392424f9fc73509ce57b

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preserves_left_exactness"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "r0_agrees_with_f",
  "proof": true
}

Совпадение нулевой степени с самим функтором — ровно свойство левой точности.

Проверка условия

Длинная точная последовательность

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

015B (1): короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ отвечает длинная точная последовательность $… → R^iF(A) → R^iF(B) → R^iF(C) → R^{i+1}F(A) → …$

Исходные факты

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: f
последовательность $0 → A → B → C → 0$ — короткая точная последовательность в категории
s: sc: cat-a

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f",
    "urn:case:stacks:s"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preserves_left_exactness"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:s",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "short_exact_sequence"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "long_exact_sequence_of_derived",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода21 шагов

1
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
2
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
3
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
4
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: urn:case:stacks:f; a: urn:case:stacks:cat-a; b: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
5
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: urn:case:stacks:f
факт дела
6
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
0034 (1): функтор точен слева: f: urn:case:stacks:f
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
правило
7
последовательность $0 → A → B → C → 0$ — короткая точная последовательность в категории
s: urn:case:stacks:s; c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
8
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
9
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
10
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
11
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
12
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
13
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
14
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
15
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
16
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
17
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
18
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
19
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
20
015B (1): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ точен слева, всякой короткой точной последовательности в $A$ отвечает длинная точная последовательность $R^iF$
015B (1): короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ отвечает длинная точная последовательность $… → R^iF(A) → R^iF(B) → R^iF(C) → R^{i+1}F(A) → …$ : f: urn:case:stacks:f; s: urn:case:stacks:s
тег 015B, ST 010Q
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#LongExactSequence
правило
21
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 7 · факт дела: 14 · Полный граф: 29 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

015B (1): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ точен слева, всякой короткой точной последовательности в $A$ отвечает длинная точная последовательность $R^iF$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#LongExactSequence

Другие правила расчёта6

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor
015B (4): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ точен слева, то $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish
05TD (3): если $RF$ определён всюду и $F$ точен слева, то $F → R^0F$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Вывод по запросу

015B (1): короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ отвечает длинная точная последовательность $… → R^iF(A) → R^iF(B) → R^iF(C) → R^{i+1}F(A) → …$
f: fs: s

Другие выводы11

0034 (1): функтор точен слева
f: f
функтор аддитивен
f: f
0104: категория аддитивна
c: cat-a
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-a
0104: категория аддитивна
c: cat-b
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-b
015B (4): последовательность $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор (010S) из $A$ в $B$
f: f
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f: f
05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f: f
05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f: f
05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм
f: f

0034 (1): функтор точен слева
f
f

функтор аддитивен
f
urn:case:stacks:f

0104: категория аддитивна
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

015B (4): последовательность $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор (010S) из $A$ в $B$
f
f

Граф связей

015B (1): короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ отвечает длинная точная последовательность $… → R^iF(A) → R^iF(B) → R^iF(C) → R^{i+1}F(A) → …$
f	s
f	s

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f
f

05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f
f

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f
f

05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм
f
f

Граф доказательств

Граф доказательства · 5 слой

Узлы доказательств: 29 · assertion 14, rule_application 12, constraint_check 2, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10

attributes

assertion: fact-10

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-10

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11

attributes

assertion: fact-11

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

enough_injectives

evidence

—

Идентификатор

fact-11

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12

attributes

assertion: fact-12

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

functor_between

evidence

—

Идентификатор

fact-12

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13

attributes

assertion: fact-13

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preserves_left_exactness

evidence

—

Идентификатор

fact-13

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

left_exact_functor

evidence

—

Идентификатор

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41

Тип

rule_application

Посылки

fact-13

Правило

LeftExactBySES

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:LeftExactIsAdditive:4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_functor

evidence

—

Идентификатор

4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258

Тип

rule_application

Посылки

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41

Правило

LeftExactIsAdditive

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-14

attributes

assertion: fact-14

conclusion

Аргументы

Идентификатор
s
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

short_exact_sequence

evidence

—

Идентификатор

fact-14

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3

attributes

assertion: fact-3

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-3

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4

attributes

assertion: fact-4

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-4

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5

attributes

assertion: fact-5

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-5

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

Тип

rule_application

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
fact-3
fact-4
fact-5

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6

attributes

assertion: fact-6

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-6

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7

attributes

assertion: fact-7

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-7

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

Тип

rule_application

Посылки

fact-6
fact-7

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8

attributes

assertion: fact-8

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-8

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9

attributes

assertion: fact-9

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-9

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

Тип

rule_application

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
fact-10
fact-8
fact-9

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:DerivedUniversalDeltaFunctor:d4dce774b8eebd84a8bbb1a4222674523e7f4d3bdc1a48ce605711cb14709f7e

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

derived_functors_universal

evidence

—

Идентификатор

d4dce774b8eebd84a8bbb1a4222674523e7f4d3bdc1a48ce605711cb14709f7e

Тип

rule_application

Посылки

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-11
fact-12

Правило

DerivedUniversalDeltaFunctor

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:LongExactSequence:efb175f6b16e7106615dceec1f183d2346ba85a371691cc973750a224da696c0

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
s
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

long_exact_sequence_of_derived

evidence

—

Идентификатор

efb175f6b16e7106615dceec1f183d2346ba85a371691cc973750a224da696c0

Тип

rule_application

Посылки

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-11
fact-12
fact-14

Правило

LongExactSequence

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

Идентификатор: s
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

rf_everywhere_defined

evidence

—

Идентификатор

c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Тип

rule_application

Посылки

4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-11
fact-12

Правило

RFEverywhereDefined

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:4897774f16e9f0a93ddf301cff8ae4daf84d7c5fbc09f1dc30947c6a8ecff70d

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

derived_functors_form_delta_functor

evidence

—

Идентификатор

4897774f16e9f0a93ddf301cff8ae4daf84d7c5fbc09f1dc30947c6a8ecff70d

Тип

rule_application

Посылки

c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Правило

DerivedFormDeltaFunctor

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:cba76e4e91360036b33877f83bc4be3f3b0ec09c661fda986f45f17b90b6c383

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

negative_derived_functors_vanish

evidence

—

Идентификатор

cba76e4e91360036b33877f83bc4be3f3b0ec09c661fda986f45f17b90b6c383

Тип

rule_application

Посылки

c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Правило

NegativeDerivedVanish

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:R0AgreesIfLeftExact:94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

r0_agrees_with_f

evidence

—

Идентификатор

94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266

Тип

rule_application

Посылки

763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41
c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff

Правило

R0AgreesIfLeftExact

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

Тип

constraint_check

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-10
fact-8
fact-9

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

Тип

constraint_check

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
fact-3
fact-4
fact-5

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
s
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

long_exact_sequence_of_derived

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

efb175f6b16e7106615dceec1f183d2346ba85a371691cc973750a224da696c0

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "left_exact_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "derived_functors_universal(urn:case:stacks:f)",
    "long_exact_sequence_of_derived(urn:case:stacks:f, urn:case:stacks:s)",
    "rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f)",
    "derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f)",
    "negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f)",
    "r0_agrees_with_f(urn:case:stacks:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-10"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-11"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-12"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-13"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preserves_left_exactness"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#left_exact_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:LeftExactIsAdditive:4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-14"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:s",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#short_exact_sequence"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-14",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-8"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-9"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_universal"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedUniversalDeltaFunctor:d4dce774b8eebd84a8bbb1a4222674523e7f4d3bdc1a48ce605711cb14709f7e",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:s",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#long_exact_sequence_of_derived"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:LongExactSequence:efb175f6b16e7106615dceec1f183d2346ba85a371691cc973750a224da696c0",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-14"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#LongExactSequence",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v3": {
              "id": "urn:case:stacks:s",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactIsAdditive:4450b8eb8e9d834d9659d2c1a4c4a9b8ab6cefd0744c6e9d16835294a6c3a258",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_form_delta_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:4897774f16e9f0a93ddf301cff8ae4daf84d7c5fbc09f1dc30947c6a8ecff70d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:cba76e4e91360036b33877f83bc4be3f3b0ec09c661fda986f45f17b90b6c383",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#r0_agrees_with_f"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:R0AgreesIfLeftExact:94a87016946b5ee2cc8dd617e9553bc6b65015ed78aaaba4bb68185c0632a266",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LeftExactBySES:763a4180f5c5954ea9f59a77b201643905d37c183b5088a235f8e2a9b7e5fd41",
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:c71991058587b13c0e4aafcf8fb5722cc3b3c1ec8d591ff26990432d6988e3ff"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:f",
                  "kind": "entity_ref"
                },
                {
                  "id": "urn:case:stacks:s",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#long_exact_sequence_of_derived"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:LongExactSequence:efb175f6b16e7106615dceec1f183d2346ba85a371691cc973750a224da696c0"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:0af7125442ea583eb3c84882535d3d84ca8b42fb299b28b76a9fcbf64a079385",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:5a5a5e9ffbbb426e6eb0dca18926370eb2afc70ec3896e4e44411406c03fd3a8",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES",
    "urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#LongExactSequence",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined"
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 10

tag/015B

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a left exact functor.
For any short exact sequence $0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0$ of complexes in $\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})$ there is an associated long exact sequence
$\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots$
The functors $R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ are zero for $i < 0$ . Also $R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ .
We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.
The sequence $(R^iF, \delta)$ forms a universal $\delta$ -functor (see Homology, Definition ) from $\mathcal{A}$ to $\mathcal{B}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:4afa5f4b9810c92dab35571346daba32fe103025b5c3cd8088dbd7e54ecd20fe",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015B",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:dfebd11201136d7893be34773ff7fda188a8b1936ac0ddeff5a25c3f02c5f5a0",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-higher-derived-functors}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a left exact functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any short exact sequence\n$0 \\to A^\\bullet \\to B^\\bullet \\to C^\\bullet \\to 0$\nof complexes in $\\text{Comp}^{+}(\\mathcal{A})$ there\nis an associated long exact sequence\n$$\n\\ldots \\to\nH^i(RF(A^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(B^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(C^\\bullet)) \\to\nH^{i + 1}(RF(A^\\bullet)) \\to \\ldots\n$$\n\\item The functors $R^iF : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$\nare zero for $i < 0$. Also $R^0F = F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$.\n\\item We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.\n\\item The sequence $(R^iF, \\delta)$ forms a universal $\\delta$-functor (see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor})\nfrom $\\mathcal{A}$ to $\\mathcal{B}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05SV

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/00ZY

A category $\mathcal{A}$ is called preadditive if each morphism set $\Mor_\mathcal{A}(x, y)$ is endowed with the structure of an abelian group such that the compositions
$\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)$
are bilinear. A functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ of preadditive categories is called additive if and only if $F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))$ is a homomorphism of abelian groups for all $x, y \in \Ob(\mathcal{A})$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:600a2de3027b9725e89be51b838fa162e7bdc03f62971f32609663a9cc1b9bb7",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/00ZY",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f2f20a29e596bff02bee9eee017d5b551092a1e17065b3a0638ec31466e411c6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-preadditive}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it preadditive} if each\nmorphism set $\\Mor_\\mathcal{A}(x, y)$ is endowed\nwith the structure of an abelian group such that the\ncompositions\n$$\n\\Mor(x, y) \\times \\Mor(y, z)\n\\longrightarrow\n\\Mor(x, z)\n$$\nare bilinear. A functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ of\npreadditive categories is called {\\it additive} if and only\nif $F : \\Mor(x, y) \\to \\Mor(F(x), F(y))$\nis a homomorphism of abelian groups for all\n$x, y \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0104

A category $\mathcal{A}$ is called additive if it is preadditive and finite products exist, in other words it has a zero object and direct sums.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2b8975d051697a9db95b3ff7f3fce2d90115db719d17e8fcc2f0682f0a58388a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0104",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:675cbb2c05ee57eb18db573e06c5dd58bc69ba38f1dc3b21733b091d62655a30",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-additive-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it additive}\nif it is preadditive and finite products exist, in other\nwords it has a zero object and direct sums.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/010N

Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ be abelian categories. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a functor.
If $F$ is either left or right exact, then it is additive.
$F$ is left exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ is exact.
$F$ is right exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.
$F$ is exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:64c741ef9deb2269f16508f201759a9d9bd1691e833d5213c0a244b78a7ce59a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/010N",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e66f034eeeacfcb7b11738065188279ef03410097d4c35d3837c698b10ba0cab",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-exact-functor}\nLet $\\mathcal{A}$ and $\\mathcal{B}$ be abelian categories.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item If $F$ is either left or right exact, then it is additive.\n\\item $F$ is left exact if and only if\nfor every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C)$\nis exact.\n\\item $F$ is right exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\item $F$ is exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

long_exact_sequence_of_derived: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: left_exact_functor(urn:case:stacks:f); additive_functor(urn:case:stacks:f); additive_category(urn:case:stacks:cat-a); abelian_category(urn:case:stacks:cat-a); additive_category(urn:case:stacks:cat-b); abelian_category(urn:case:stacks:cat-b); derived_functors_universal(urn:case:stacks:f); long_exact_sequence_of_derived(urn:case:stacks:f, urn:case:stacks:s); rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f); derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f); negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f); r0_agrees_with_f(urn:case:stacks:f) Применены правила: AdditiveByFiniteProducts, LeftExactBySES, LeftExactIsAdditive, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, DerivedUniversalDeltaFunctor, LongExactSequence, NegativeDerivedVanish, R0AgreesIfLeftExact, RFEverywhereDefined Право (вне юрисдикции государства): Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — доктрина (programHash sha256:b70b54495375…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 29 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_010N"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:bd9f95e9a3e90593b5ca6b4058f9cd5a7d1c8e200736cc4d2a23b2d5909559a9",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
  "resultHash": "sha256:5a5a5e9ffbbb426e6eb0dca18926370eb2afc70ec3896e4e44411406c03fd3a8",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:9394877720d8ad6bdf17cea824110ebe614591a1013a1bec9f4f55d8c847a9f2

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f",
    "urn:case:stacks:s"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preserves_left_exactness"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:s",
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "short_exact_sequence"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "long_exact_sequence_of_derived",
  "proof": true
}

Короткая точная последовательность объектов порождает длинную точную последовательность производных.

Проверка условия

Отрицательные степени нулевые

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$

Исходные факты

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: f

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "homomorphism_on_hom_groups"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "negative_derived_functors_vanish",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода21 шагов

1
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
2
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
3
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
4
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: urn:case:stacks:f; a: urn:case:stacks:cat-a; b: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
5
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: urn:case:stacks:f
факт дела
6
00ZY: функтор предаддитивных категорий аддитивен, если он гомоморфизм абелевых групп на множествах морфизмов
функтор аддитивен: f: urn:case:stacks:f
тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups
правило
7
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
8
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
9
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
10
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
11
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: urn:case:stacks:cat-a
факт дела
12
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-a
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
13
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
14
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
15
0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0104, тег 00ZY
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
правило
16
в категории существуют все ядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
17
в категории существуют все коядра
c: urn:case:stacks:cat-b
факт дела
18
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:cat-b
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
19
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду: f: urn:case:stacks:f
тег 05TI, тег 05SV, тег 05T4
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined
правило
20
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$ : f: urn:case:stacks:f
тег 05TD
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish
правило
21
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 8 · факт дела: 13 · Полный граф: 24 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0104: предаддитивная категория с конечными произведениями аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts
00ZY: функтор предаддитивных категорий аддитивен, если он гомоморфизм абелевых групп на множествах морфизмов
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Другие правила расчёта1

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor

Вывод по запросу

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f: f

Другие выводы7

функтор аддитивен
f: f
0104: категория аддитивна
c: cat-a
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-a
0104: категория аддитивна
c: cat-b
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: cat-b
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f: f
05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f: f

функтор аддитивен
f
urn:case:stacks:f

0104: категория аддитивна
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c
urn:case:stacks:cat-a
urn:case:stacks:cat-b

05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
f
f

05TE (1): функторы $R^iF$ , $i ≥ 0$ , несут каноническую структуру когомологического $δ$ -функтора (010Q)
f
f

05TD (1): $R^iF = 0$ при $i < 0$
f
f

Граф доказательств

Граф доказательства · 6 слой

Узлы доказательств: 24 · assertion 13, rule_application 8, constraint_check 2, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10

attributes

assertion: fact-10

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-10

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11

attributes

assertion: fact-11

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

enough_injectives

evidence

—

Идентификатор

fact-11

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12

attributes

assertion: fact-12

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref
Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

functor_between

evidence

—

Идентификатор

fact-12

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13

attributes

assertion: fact-13

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

homomorphism_on_hom_groups

evidence

—

Идентификатор

fact-13

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_functor

evidence

—

Идентификатор

7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5

Тип

rule_application

Посылки

fact-13

Правило

AdditiveByHomGroups

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3

attributes

assertion: fact-3

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-3

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4

attributes

assertion: fact-4

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-4

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5

attributes

assertion: fact-5

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

fact-5

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-a
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a

Тип

rule_application

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
fact-3
fact-4
fact-5

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6

attributes

assertion: fact-6

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preadditive_category

evidence

—

Идентификатор

fact-6

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7

attributes

assertion: fact-7

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_finite_products

evidence

—

Идентификатор

fact-7

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d

Тип

rule_application

Посылки

fact-6
fact-7

Правило

AdditiveByFiniteProducts

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8

attributes

assertion: fact-8

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

fact-8

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9

attributes

assertion: fact-9

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

fact-9

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

attributes

definition

concept: abelian_category
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
cat-b
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_category

evidence

—

Идентификатор

df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33

Тип

rule_application

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
fact-10
fact-8
fact-9

Правило

abelian_category/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

rf_everywhere_defined

evidence

—

Идентификатор

f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

Тип

rule_application

Посылки

7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-11
fact-12

Правило

RFEverywhereDefined

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

derived_functors_form_delta_functor

evidence

—

Идентификатор

8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd

Тип

rule_application

Посылки

f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

Правило

DerivedFormDeltaFunctor

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

negative_derived_functors_vanish

evidence

—

Идентификатор

9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2

Тип

rule_application

Посылки

f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578

Правило

NegativeDerivedVanish

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484

Тип

constraint_check

Посылки

d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d
df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33
fact-10
fact-8
fact-9

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-b
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_category/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c

Тип

constraint_check

Посылки

d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662
d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a
fact-3
fact-4
fact-5

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: cat-a
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

negative_derived_functors_vanish

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "additive_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f)",
    "derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f)",
    "negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-10"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-11"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-12"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-13"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#homomorphism_on_hom_groups"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-8"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-9"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_form_delta_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:f",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:bab68d87ead0ad317983904727dee7efbd917fdf96c154fff99e9600b31f9b11",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:64baeb47c951a339c0a4735727d5d4cd6d007f068a19d114c8cfa604bbb2cc17",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined"
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 8

tag/05SV

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/00ZY

A category $\mathcal{A}$ is called preadditive if each morphism set $\Mor_\mathcal{A}(x, y)$ is endowed with the structure of an abelian group such that the compositions
$\Mor(x, y) \times \Mor(y, z) \longrightarrow \Mor(x, z)$
are bilinear. A functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ of preadditive categories is called additive if and only if $F : \Mor(x, y) \to \Mor(F(x), F(y))$ is a homomorphism of abelian groups for all $x, y \in \Ob(\mathcal{A})$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:600a2de3027b9725e89be51b838fa162e7bdc03f62971f32609663a9cc1b9bb7",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/00ZY",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f2f20a29e596bff02bee9eee017d5b551092a1e17065b3a0638ec31466e411c6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-preadditive}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it preadditive} if each\nmorphism set $\\Mor_\\mathcal{A}(x, y)$ is endowed\nwith the structure of an abelian group such that the\ncompositions\n$$\n\\Mor(x, y) \\times \\Mor(y, z)\n\\longrightarrow\n\\Mor(x, z)\n$$\nare bilinear. A functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ of\npreadditive categories is called {\\it additive} if and only\nif $F : \\Mor(x, y) \\to \\Mor(F(x), F(y))$\nis a homomorphism of abelian groups for all\n$x, y \\in \\Ob(\\mathcal{A})$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0104

A category $\mathcal{A}$ is called additive if it is preadditive and finite products exist, in other words it has a zero object and direct sums.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2b8975d051697a9db95b3ff7f3fce2d90115db719d17e8fcc2f0682f0a58388a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0104",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:675cbb2c05ee57eb18db573e06c5dd58bc69ba38f1dc3b21733b091d62655a30",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-additive-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is called {\\it additive}\nif it is preadditive and finite products exist, in other\nwords it has a zero object and direct sums.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

negative_derived_functors_vanish: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: additive_functor(urn:case:stacks:f); additive_category(urn:case:stacks:cat-a); abelian_category(urn:case:stacks:cat-a); additive_category(urn:case:stacks:cat-b); abelian_category(urn:case:stacks:cat-b); rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f); derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f); negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f) Применены правила: AdditiveByFiniteProducts, AdditiveByHomGroups, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, NegativeDerivedVanish, RFEverywhereDefined Право (вне юрисдикции государства): Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — доктрина (programHash sha256:b70b54495375…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 24 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

{
  "answer": {
    "evaluationStatus": "COMPUTED",
    "kind": "TRUTH",
    "meaning": "установлено",
    "missingInputs": [],
    "truthStatus": "TRUE_ONLY"
  },
  "closedEditionRules": [],
  "derived": [
    "additive_functor(urn:case:stacks:f)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-a)",
    "additive_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "abelian_category(urn:case:stacks:cat-b)",
    "rf_everywhere_defined(urn:case:stacks:f)",
    "derived_functors_form_delta_functor(urn:case:stacks:f)",
    "negative_derived_functors_vanish(urn:case:stacks:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-10"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-11"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-12"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-13"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#homomorphism_on_hom_groups"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-13"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-a",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preadditive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#has_finite_products"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-8"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-9"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:cat-b",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#rf_everywhere_defined"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByHomGroups:7b50108ebd390a92e5ff121e14523606441ac216c80c84f697f3cfd93e86f1a5",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-11",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-12"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#derived_functors_form_delta_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:DerivedFormDeltaFunctor:8f62e5cfbccfbc635c97b7ecd1e6ef2c33f53db9b99a642b5f0500ceabc5a9fd",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:RFEverywhereDefined:f31eab7dcccab201e1dd3602b67595c12d19bf24acc845d662c662d0a5ef0578"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:f",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d62fcc6ab5f6182239b7f2500d945ab2594f951d60582596f4fc5d8fb83fba1d",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:df735a62aeff7766e9e4ef105380ce3f9dbfa080411bd695ec1e39f4b8ca6f33",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-10",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-8",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-9"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-b",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AdditiveByFiniteProducts:d92ce9bcde5f250b0c0921a1ac5eae2b99e00c9dddc0db89c5753deea0ab2662",
            "urn:proof:apply:abelian_category/sufficient:d5030e23f7bbb2eb2d9287eb656bf463e4cc515b6281b0633e91e07fc93d248a",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:cat-a",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:f",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:NegativeDerivedVanish:9302e91a8e09a730e8bd3f7715567533ed4485085d1d6b6b087034c3cb4d8ff2"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:bab68d87ead0ad317983904727dee7efbd917fdf96c154fff99e9600b31f9b11",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:75c2ecfefcb4d5c2218bc87b7e9ccbfe0a659e05e4d62a89d32f01cb41f32484",
        "urn:proof:constraint:abelian_category/necessary:ae494745d92071d97c9f5272871da104fa5cdf2902d5b41ac8f8584667e1432c",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:64baeb47c951a339c0a4735727d5d4cd6d007f068a19d114c8cfa604bbb2cc17",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.1"
  },
  "evaluationStatus": "COMPUTED",
  "issues": [],
  "judgmentRequests": [],
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "provenance": {
    "acts": [
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 16,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
          "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
        "package": "stacks-derived-functors",
        "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
      },
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 11,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
          "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
          "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
        "package": "stacks-categories",
        "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
      },
      {
        "contributed": false,
        "fragmentCount": 17,
        "fragments": [],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
        "package": "stacks-category-theory",
        "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
      }
    ],
    "caseHash": "sha256:7299d7d4001b7f6154f0372b741e9c7898ae828311ac9148a175f4d580767b11",
    "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
    "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
    "legalTime": "2026-09-06",
    "mode": "audit",
    "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
    "resultHash": "sha256:64baeb47c951a339c0a4735727d5d4cd6d007f068a19d114c8cfa604bbb2cc17",
    "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
    "timezone": "Asia/Qyzylorda"
  },
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByFiniteProducts",
    "urn:stacks:clir:categories#AdditiveByHomGroups",
    "urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish",
    "urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined"
  ],
  "signature": {
    "constants": {},
    "parameters": [
      {
        "labels": [],
        "name": "f",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:derived-functors#Functor"
        }
      }
    ],
    "predicate": "urn:stacks:clir:derived-functors#negative_derived_functors_vanish",
    "schemaVersion": "law.answers.signature/0.1",
    "types": {
      "urn:stacks:clir:category-theory#Functor": {
        "kind": "entity",
        "labels": [
          {
            "language": "en",
            "status": "official",
            "text": "functor"
          },
          {
            "language": "ru",
            "status": "unofficial",
            "text": "функтор"
          }
        ],
        "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
        "package": "stacks.category_theory"
      },
      "urn:stacks:clir:derived-functors#Functor": {
        "kind": "alias",
        "labels": [],
        "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
        "package": "stacks.derived_functors",
        "target": "urn:stacks:clir:category-theory#Functor"
      }
    },
    "vocab": {}
  },
  "vulnerableTo": [],
  "whyNot": []
}

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_00ZY",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0104",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:7299d7d4001b7f6154f0372b741e9c7898ae828311ac9148a175f4d580767b11",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:b70b544953754dd80ba96365a1a8f6503235258ecd876a83a9d595d0e100f317",
  "resultHash": "sha256:64baeb47c951a339c0a4735727d5d4cd6d007f068a19d114c8cfa604bbb2cc17",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:f720f268ab04ef90be173ad4cd34de1bd504ef30f160f18de99ad2dca6884c18

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "preadditive_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "has_finite_products"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_kernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "has_all_cokernels"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "coimage_to_image_isomorphism"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:cat-a"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "enough_injectives"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f",
        "urn:case:stacks:cat-a",
        "urn:case:stacks:cat-b"
      ],
      "package": "stacks-category-theory",
      "predicate": "functor_between"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "homomorphism_on_hom_groups"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-derived-functors",
  "predicate": "negative_derived_functors_vanish",
  "proof": true
}

Ниже нулевой степени производных функторов нет.

Как сослаться

Снимок неизменяем: его закрепляет SHA-256 скачиваемого JSON, поэтому дата обращения не нужна.

Текст ссылки

«При каких условиях правый производный функтор определён на всей категории, когда R⁰F совпадает с F и почему инъективный объект ацикличен?». Arxo Lens, по состоянию на 06.09.2026. https://lens.arxo.io/a/a_yyr4HZvcrkQ5rn0nxn2fnKrs. SHA-256 снимка: b649df74b1f0e98a92fadc11af0ad566d2f23b2acf34e1c772a79085f2cd3ba1.

BibTeX

@misc{arxo-lens-a_yyr4HZvcrkQ5,
  title = {При каких условиях правый производный функтор определён на всей категории, когда R⁰F совпадает с F и почему инъективный объект ацикличен?},
  howpublished = {Arxo Lens},
  url = {https://lens.arxo.io/a/a_yyr4HZvcrkQ5rn0nxn2fnKrs},
  note = {по состоянию на 06.09.2026; SHA-256 b649df74b1f0e98a92fadc11af0ad566d2f23b2acf34e1c772a79085f2cd3ba1}
}

Код для вставки

Карточка показывает результат и ведёт к полному разбору; cookies не ставит.

<iframe src="https://lens.arxo.io/embed/a_yyr4HZvcrkQ5rn0nxn2fnKrs?lang=ru" width="100%" height="390" loading="lazy" title="Производные функторы — Arxo Lens" style="border:0"></iframe>

Анонимная статистика посещений, без cookies.