При каких условиях правый производный функтор определён на всей категории, когда R⁰F совпадает с F и почему инъективный объект ацикличен?

Правый производный функтор определён всюду, когда обе категории абелевы, в источнике достаточно инъективных объектов, а сам функтор аддитивен. Инъективная резольвента тогда существует у каждого объекта, R¹ считается по ней, а на инъективном объекте все старшие производные обращаются в нуль. Левая точность функтора равносильна совпадению R⁰F с F. Короткая точная последовательность порождает длинную точную последовательность производных, а в отрицательных степенях они нулевые.

Это пояснение ассистента, а не результат расчёта. Проверяйте выводы по основаниям и источникам ниже.

Результаты

Проверка условия

RF определён на всей категории

Установлено

Параметры запроса · 1

f: urn:case:stacks:f

Исходные факты · 13

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: f

Почему такой результат? →Источники: 8

Три посылки: обе категории абелевы, достаточно инъективных объектов, функтор аддитивен.

Проверка условия

Инъективная резольвента существует

Установлено

Параметры запроса · 1

a: urn:case:stacks:x

Исходные факты · 7

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: xc: cat-a

Почему такой результат? →Источники: 4

Достаточность инъективных объектов даёт резольвенту для каждого объекта категории.

Проверка условия

R¹ по инъективной резольвенте

Установлено

Параметры запроса · 4

f: urn:case:stacks:f
n: 1
a: urn:case:stacks:x
h: urn:case:stacks:h1

Исходные факты · 21

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: f
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: xc: cat-a
$K^•$ — комплекс в категории
k: ic: cat-a
013I (1): $I^n = 0$ при $n < 0$
k: i
013I (2): каждый $I^n$ — инъективный объект категории
k: i
013I (3): отображение $A → I^0$ — изоморфизм на $Ker(d^0)$
a: xk: i
013I (4): $H^i(I^•) = 0$ при $i > 0$
k: i
$F(K^•)$ — данный комплекс: $F$ , применённый к $K^•$ почленно
f: fk: ifk: f-i
$H^n(K^•)$ — данный объект
k: f-in: 1h: h1

Почему такой результат? →Источники: 13

Первый производный считается как когомология комплекса, полученного применением функтора к резольвенте.

Проверка условия

Инъективный объект ацикличен

Установлено

Параметры запроса · 2

f: urn:case:stacks:f
a: urn:case:stacks:j

Исходные факты · 15

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: f
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: jc: cat-a
для всякой инъекции $A ↪ B$ и всякого морфизма $A → J$ существует морфизм $B → J$ , замыкающий диаграмму
j: j

Почему такой результат? →Источники: 14

На инъективном объекте производные положительной степени обращаются в нуль.

Проверка условия

R⁰F совпадает с F при левой точности

Установлено

Параметры запроса · 1

f: urn:case:stacks:f

Исходные факты · 13

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: f

Почему такой результат? →Источники: 10

Совпадение нулевой степени с самим функтором — ровно свойство левой точности.

Проверка условия

Длинная точная последовательность

Установлено

Параметры запроса · 2

f: urn:case:stacks:f
s: urn:case:stacks:s

Исходные факты · 14

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
f: f
последовательность $0 → A → B → C → 0$ — короткая точная последовательность в категории
s: sc: cat-a

Почему такой результат? →Источники: 10

Короткая точная последовательность объектов порождает длинную точную последовательность производных.

Проверка условия

Отрицательные степени нулевые

Установлено

Параметры запроса · 1

f: urn:case:stacks:f

Исходные факты · 13

00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-a
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-a
в категории существуют все ядра
c: cat-a
в категории существуют все коядра
c: cat-a
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-a
00ZY: каждое $Mor(x, y)$ — абелева группа, композиция билинейна
c: cat-b
001S: произведения $x × y$ существуют для всех пар объектов, а значит все конечные произведения
c: cat-b
в категории существуют все ядра
c: cat-b
в категории существуют все коядра
c: cat-b
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории
c: cat-b
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$
c: cat-a
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$
f: fa: cat-ab: cat-b
$F : Mor(x, y) → Mor(F(x), F(y))$ — гомоморфизм абелевых групп для всех объектов $x, y$
f: f

Почему такой результат? →Источники: 8

Ниже нулевой степени производных функторов нет.

Как сослаться

Снимок неизменяем: его закрепляет SHA-256 скачиваемого JSON, поэтому дата обращения не нужна.

Текст ссылки

«При каких условиях правый производный функтор определён на всей категории, когда R⁰F совпадает с F и почему инъективный объект ацикличен?». Arxo Lens, по состоянию на 06.09.2026. https://lens.arxo.io/a/a_yyr4HZvcrkQ5rn0nxn2fnKrs. SHA-256 снимка: b649df74b1f0e98a92fadc11af0ad566d2f23b2acf34e1c772a79085f2cd3ba1.

BibTeX

@misc{arxo-lens-a_yyr4HZvcrkQ5,
  title = {При каких условиях правый производный функтор определён на всей категории, когда R⁰F совпадает с F и почему инъективный объект ацикличен?},
  howpublished = {Arxo Lens},
  url = {https://lens.arxo.io/a/a_yyr4HZvcrkQ5rn0nxn2fnKrs},
  note = {по состоянию на 06.09.2026; SHA-256 b649df74b1f0e98a92fadc11af0ad566d2f23b2acf34e1c772a79085f2cd3ba1}
}

Код для вставки

Карточка показывает результат и ведёт к полному разбору; cookies не ставит.

<iframe src="https://lens.arxo.io/embed/a_yyr4HZvcrkQ5rn0nxn2fnKrs?lang=ru" width="100%" height="390" loading="lazy" title="Производные функторы — Arxo Lens" style="border:0"></iframe>

Анонимная статистика посещений, без cookies.