Почему H⁰(X, F) — это в точности глобальные сечения, отчего вялый пучок не имеет старших когомологий и всякий ли пучок допускает вялую резольвенту?

Пучкование предпучка даёт пучок абелевых групп и универсально среди отображений в пучки. Нулевая степень производного функтора глобальных сечений совпадает с самими глобальными сечениями, потому что этот функтор точен слева. У вялого пучка все когомологии положительной степени обращаются в нуль, инъективный пучок вял, а резольвента Годемана существует у любого пучка — поэтому вычислять когомологии есть чем.

Это пояснение ассистента, а не результат расчёта. Проверяйте выводы по основаниям и источникам ниже.

Кратко

Выберите результат, чтобы перейти к основаниям

Подробный разбор

Проверка условия

Пучкование даёт пучок абелевых групп

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок

fsharpx

Исходные факты

$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: fx: x
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: f
$G = F^#$ — пучковизация предпучка $F$ : сечения над $U$ суть согласованные семейства ростков (Sheaves, раздел 007X), с каноническим отображением $F → F^#$
g: fsharpf: f

Пакет: Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:fsharp",
    "urn:case:stacks:sh:x"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:fsharp",
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "plus_construction"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "abelian_sheaf_on",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода6 шагов

1
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
2
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
3
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006K
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient
правило
4
$G = F^#$ — пучковизация предпучка $F$ : сечения над $U$ суть согласованные семейства ростков (Sheaves, раздел 007X), с каноническим отображением $F → F^#$
g: urn:case:stacks:sh:fsharp; f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
5
0085: для абелева предпучка $F$ на $F^#$ есть единственная структура абелева пучка, при которой $F → F^#$ — морфизм абелевых предпучков
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок: f: urn:case:stacks:sh:fsharp; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 0085
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyAbelianPresheaf
правило
6
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 3 · факт дела: 3 · Полный граф: 10 узлов

Шаги сохранённого доказательства от фактов дела к ответу. Формулы показаны как записаны в норме, с подставленными значениями; страница ничего не пересчитывает.

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

0085: для абелева предпучка $F$ на $F^#$ есть единственная структура абелева пучка, при которой $F → F^#$ — морфизм абелевых предпучков
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyAbelianPresheaf
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient

Другие правила расчёта3

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

0FKS с 01AD: у всякого абелева пучка $F$ на $X$ есть резольвента Годемана $0 → F → f_*f^*F → …$ вялыми пучками
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists
007Y: предпучок $F^#$ — пучок
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf
0080: для предпучка множеств $F$ всякое отображение $F → H$ в пучок единственным образом проходит через $F → F^#$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal

Вывод по запросу

0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f: fsharpx: x

Другие выводы4

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: fx: x
$F$ — пучок множеств на $X$
f: fsharpx: x
0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f: fsharp
0080: всякое отображение $F → H$ в пучок множеств единственным образом раскладывается как $F → F^# → H$
f: fg: fsharp

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f	x
urn:case:stacks:sh:f	x

$F$ — пучок множеств на $X$
f	x
urn:case:stacks:sh:fsharp	x

0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f	x
urn:case:stacks:sh:fsharp	x

0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f
urn:case:stacks:sh:fsharp

0080: всякое отображение $F → H$ в пучок множеств единственным образом раскладывается как $F → F^# → H$
f	g
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:fsharp

Скрыто выведенных фактов: 0. В кратком ответе движок оставляет относящиеся к вопросу; полный перечень — в JSON расчёта ниже.

Что способно поразить вывод3 правил

1
006T: предпучок, у которого согласованные семейства сечений не склеиваются, — не пучок
Чего не хватает
- 006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$ fsharpНе установленоименно этого не хватает
- $F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$ fsharp, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedGluing
правило
2
006T: предпучок, в котором склеенное сечение не единственно, — не пучок
Чего не хватает
- 006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытиеfsharpНе установленоименно этого не хватает
- $F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$ fsharp, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedUniqueness
правило
3
006T: предпучок, опровергнутый открытым покрытием, — не пучок множеств на $X$
Чего не хватает
- $F$ — не пучок на $X$ : условие 006T провалено на некотором открытом покрытииfsharp, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering
правило

Перечислены правила, чья голова отвечает вопросу, и их невыполненные посылки. Отсутствие факта не означает его опровержения.

Граф доказательств

Граф доказательства · 4 слой

Узлы доказательств: 10 · assertion 3, rule_application 5, constraint_check 1, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

presheaf_of_sets_on

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_group_structure

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae

attributes

definition

concept: abelian_presheaf_on
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_presheaf_on

evidence

—

Идентификатор

7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

abelian_presheaf_on/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3

attributes

assertion: fact-3

conclusion

Аргументы

Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref
Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

plus_construction

evidence

—

Идентификатор

fact-3

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:eaf6a9aa2d0b4a500dc473cfcc0200ff61ea9beb9b8b4c6f79c6657450c8afd0

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

sheaf_of_sets_on

evidence

—

Идентификатор

eaf6a9aa2d0b4a500dc473cfcc0200ff61ea9beb9b8b4c6f79c6657450c8afd0

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-3

Правило

SheafificationIsSheaf

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: fsharp
Тип: entity_ref

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_sheaf_on

evidence

—

Идентификатор

71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a

Тип

rule_application

Посылки

7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae
fact-3

Правило

SheafifyAbelianPresheaf

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: fsharp
Тип: entity_ref

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:GodementResolutionExists:c3529a34c74fd31d4c672c809a4ecb778e70d8af01b9f392fdbc88127dbc32ff

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_flasque_resolution

evidence

—

Идентификатор

c3529a34c74fd31d4c672c809a4ecb778e70d8af01b9f392fdbc88127dbc32ff

Тип

rule_application

Посылки

71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a

Правило

GodementResolutionExists

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: fsharp
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:SheafifyUniversal:08e13163bd01f4b2580ae4fbd1215e62a1d2eacd896fef56d26ee23b484b96a7

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

universal_among_maps_to_sheaves

evidence

—

Идентификатор

08e13163bd01f4b2580ae4fbd1215e62a1d2eacd896fef56d26ee23b484b96a7

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-3

Правило

SheafifyUniversal

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: fsharp
Тип: entity_ref

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_presheaf_on/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4

Тип

constraint_check

Посылки

7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae
fact-1
fact-2

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_sheaf_on

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
    "abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
    "has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
    "universal_among_maps_to_sheaves(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:fsharp)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_group_structure"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:eaf6a9aa2d0b4a500dc473cfcc0200ff61ea9beb9b8b4c6f79c6657450c8afd0",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyAbelianPresheaf",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GodementResolutionExists:c3529a34c74fd31d4c672c809a4ecb778e70d8af01b9f392fdbc88127dbc32ff",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:08e13163bd01f4b2580ae4fbd1215e62a1d2eacd896fef56d26ee23b484b96a7",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                  "kind": "entity_ref"
                },
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:19ec6d489113976ca6298af1f6aad1cb43475c6c9928bca7f8cec72b17567d90",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:a7ecf5f0ad9b5b795a1992270606048d2aee076e31f2a295d95616e9a1bac8ba",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.2"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyAbelianPresheaf",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient"
  ],
  "vulnerableTo": [
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf",
      "missing": [
        "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedGluing"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf",
      "missing": [
        "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedUniqueness"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)",
      "missing": [
        "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByRefutingCovering"
    }
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 7

tag/006K

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

Let $X$ be a topological space.
A presheaf of abelian groups on $X$ or an abelian presheaf over $X$ is a presheaf of sets $\mathcal{F}$ such that for each open $U \subset X$ the set $\mathcal{F}(U)$ is endowed with the structure of an abelian group, and such that all restriction maps $\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see Lemma above.
A morphism of abelian presheaves over $X$ $\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ is a morphism of presheaves of sets which induces a homomorphism of abelian groups $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ for every open $U \subset X$ .
The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted $\textit{PAb}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:fa7c3dec36920848465ed2902237f8efade0877767eebcee37676bb1bb8717d9",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006K",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:b8388b54fb29de485ebd7c91f38c607f6005d41b4d427265a75b163118fd70d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-presheaves}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it presheaf of abelian groups on $X$} or an\n{\\it abelian presheaf over $X$}\nis a presheaf of sets $\\mathcal{F}$ such that for each open\n$U \\subset X$ the set $\\mathcal{F}(U)$ is endowed with\nthe structure of an abelian group, and such that all restriction\nmaps $\\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see\nLemma \\ref{lemma-abelian-presheaves} above.\n\\item A {\\it morphism of abelian presheaves over $X$}\n$\\varphi : \\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$ is a morphism of presheaves\nof sets which induces\na homomorphism of abelian groups $\\mathcal{F}(U) \\to \\mathcal{G}(U)$\nfor every open $U \\subset X$.\n\\item The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted\n$\\textit{PAb}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/006T

Let $X$ be a topological space.
A sheaf $\mathcal{F}$ of sets on $X$ is a presheaf of sets which satisfies the following additional property: Given any open covering $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ and any collection of sections $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ , $i \in I$ such that $\forall i, j\in I$
$s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$
there exists a unique section $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s_i = s|_{U_i}$ for all $i \in I$ .
A morphism of sheaves of sets is simply a morphism of presheaves of sets.
The category of sheaves of sets on $X$ is denoted $\Sh(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:8504f30501fb40b30a60685a51aad76a416258206ec9a839891f7bf83cd38323",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006T",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:041460b360dfa6a9d137bed749118fd98c2764c6ac5b9058dcb5aa7167313f76",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it sheaf $\\mathcal{F}$ of sets on $X$} is a presheaf\nof sets which satisfies the following additional property: Given\nany open covering $U = \\bigcup_{i \\in I} U_i$ and any collection\nof sections $s_i \\in \\mathcal{F}(U_i)$, $i \\in I$ such that\n$\\forall i, j\\in I$\n$$\ns_i|_{U_i \\cap U_j} = s_j|_{U_i \\cap U_j}\n$$\nthere exists a unique section $s \\in \\mathcal{F}(U)$ such that\n$s_i = s|_{U_i}$ for all $i \\in I$.\n\\item A {\\it morphism of sheaves of sets} is simply a\nmorphism of presheaves of sets.\n\\item The category of sheaves of sets on $X$ is denoted\n$\\Sh(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/007Y

The presheaf $\mathcal{F}^{\#}$ is a sheaf.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:86546cd976c19579e8056b4fcbae7d781851f1b8799d12d0fba16321efaee59c",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_007Y",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/007Y",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:282a15f0475c3f68a862ce8346d7972c4f62ab14daa09a1922c02bb9f01c558e",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-sheafification-sheaf}\nThe presheaf $\\mathcal{F}^{\\#}$ is a sheaf.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0080

Let $\mathcal{F}$ be a presheaf of sets on $X$ . Any map $\mathcal{F} \to \mathcal{G}$ into a sheaf of sets factors uniquely as $\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:9b004386054af3ebceab40302636bc759c8a1b7c732a3984765235c76fc000c4",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0080",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0080",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:2ba5dec16073f1fdafcf8a352bfc30f215d20caf060e768c51658875dc939220",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-sheafify-universal}\nLet $\\mathcal{F}$ be a presheaf of sets on $X$.\nAny map $\\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$ into a sheaf of sets\nfactors uniquely as\n$\\mathcal{F} \\to \\mathcal{F}^\\# \\to \\mathcal{G}$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0085

Let $X$ be a topological space. Let $\mathcal{F}$ be an abelian presheaf on $X$ . Then there exists a unique structure of abelian sheaf on $\mathcal{F}^\#$ such that $\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#$ is a morphism of abelian presheaves. Moreover, the following adjointness property holds
$\Mor_{\textit{PAb}(X)}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\textit{Ab}(X)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G}).$

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:63fafe60d647e15c855184db7359f8c2ead35af2af5d43260bed141fe4d3a8d0",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0085",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0085",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:6cfa0751723700062760868c89628b4aa1d8d91b0ca0b69f61af805272569a0e",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-sheafify-abelian-presheaf}\nLet $X$ be a topological space.\nLet $\\mathcal{F}$ be an abelian presheaf on $X$.\nThen there exists a unique structure of\nabelian sheaf on $\\mathcal{F}^\\#$ such that\n$\\mathcal{F} \\to \\mathcal{F}^\\#$ is a morphism\nof abelian presheaves. Moreover, the following adjointness\nproperty holds\n$$\n\\Mor_{\\textit{PAb}(X)}(\\mathcal{F}, i(\\mathcal{G}))\n=\n\\Mor_{\\textit{Ab}(X)}(\\mathcal{F}^\\#, \\mathcal{G}).\n$$\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/01AD

Introduction
In this chapter we work out basic notions of sheaves of modules. This in particular includes the case of abelian sheaves, since these may be viewed as sheaves of $\underline{\mathbf{Z}}$ -modules. Basic references are , and . We work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi in another chapter (see Modules on Sites, Section ), although there we will mostly just duplicate the discussion from this chapter.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d0262bf7656850a1933eef167a360437aa2bb6436e57461a3d23de09e8cc8ef3",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AD",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3237316f9dec6bd87194ad43833111dbdf86cade5633082fbc0e7d50b3e2e7cf",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Introduction}\n\\label{section-introduction}\n\n\\noindent\nIn this chapter we work out basic notions of sheaves of modules.\nThis in particular includes the case of abelian sheaves, since\nthese may be viewed as sheaves of $\\underline{\\mathbf{Z}}$-modules.\nBasic references are \\cite{FAC}, \\cite{EGA} and \\cite{SGA4}.\n\n\\medskip\\noindent\nWe work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi\nin another chapter (see\nModules on Sites, Section \\ref{sites-modules-section-introduction}),\nalthough there we will mostly just duplicate the discussion\nfrom this chapter."
    }
  ]
}

tag/0FKS

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of $\mathcal{O}_X$ -modules $\mathcal{F}$ there is a resolution
$0 \to \mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots$
functorial in $\mathcal{F}$ such that each term $f_*f^* \ldots f_*f^*\mathcal{F}$ is a flasque $\mathcal{O}_X$ -module and such that for all $x \in X$ the map
$\mathcal{F}_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to \ldots \Big)$
is a homotopy equivalence in the category of complexes of $\mathcal{O}_{X, x}$ -modules.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:787503a0ec46db68e4e11e9bf5fa2fabae3304c806bc7e2f5be69ab1af6cc11f",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0FKS",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:8b044713268f8366ca6cc0212d88985ff0517eb2417f464d218f454e93c283fe",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-godement-resolution}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of\n$\\mathcal{O}_X$-modules $\\mathcal{F}$ there is a resolution\n$$\n0 \\to\n\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to \\ldots\n$$\nfunctorial in $\\mathcal{F}$ such that each term\n$f_*f^* \\ldots f_*f^*\\mathcal{F}$ is a flasque\n$\\mathcal{O}_X$-module and such that for all $x \\in X$ the\nmap\n$$\n\\mathcal{F}_x[0] \\to \\Big(\n(f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to \\ldots\n\\Big)\n$$\nis a homotopy equivalence in the category of complexes\nof $\\mathcal{O}_{X, x}$-modules.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

Пакеты в снимке

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

abelian_sheaf_on: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x); abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x); has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:fsharp); universal_among_maps_to_sheaves(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:fsharp) Применены правила: GodementResolutionExists, SheafificationIsSheaf, SheafifyAbelianPresheaf, SheafifyUniversal, abelian_presheaf_on/sufficient Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf» — оно отменило бы вывод, будь установлено: compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp); presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x) Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf» — оно отменило бы вывод, будь установлено: gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp); presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x) Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on $X$» — оно отменило бы вывод, будь установлено: not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x) (поражающее правило не сработало из-за неустановленных фактов — подайте их в facts, если они есть в деле) Право (вне юрисдикции государства): Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — доктрина (programHash sha256:6b62eb59e903…) proof-граф: 10 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

{
  "answer": {
    "evaluationStatus": "COMPUTED",
    "kind": "TRUTH",
    "meaning": "установлено",
    "missingInputs": [],
    "truthStatus": "TRUE_ONLY"
  },
  "closedEditionRules": [],
  "derived": [
    "abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
    "abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
    "has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
    "universal_among_maps_to_sheaves(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:fsharp)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_group_structure"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:eaf6a9aa2d0b4a500dc473cfcc0200ff61ea9beb9b8b4c6f79c6657450c8afd0",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyAbelianPresheaf",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GodementResolutionExists:c3529a34c74fd31d4c672c809a4ecb778e70d8af01b9f392fdbc88127dbc32ff",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:08e13163bd01f4b2580ae4fbd1215e62a1d2eacd896fef56d26ee23b484b96a7",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                  "kind": "entity_ref"
                },
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:19ec6d489113976ca6298af1f6aad1cb43475c6c9928bca7f8cec72b17567d90",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:a7ecf5f0ad9b5b795a1992270606048d2aee076e31f2a295d95616e9a1bac8ba",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.2"
  },
  "evaluationStatus": "COMPUTED",
  "issues": [],
  "judgmentRequests": [],
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "provenance": {
    "acts": [
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 26,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_007Y",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0080",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0085",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
        "package": "stacks-sheaf-cohomology",
        "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
      }
    ],
    "caseHash": "sha256:a28ce816820b92ab076db604e2ee24912a3cca06c797faeccfc0a6cf2249c6c3",
    "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
    "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
    "legalTime": "2026-09-06",
    "mode": "audit",
    "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e",
    "resultHash": "sha256:a7ecf5f0ad9b5b795a1992270606048d2aee076e31f2a295d95616e9a1bac8ba",
    "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
    "timezone": "Asia/Qyzylorda"
  },
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyAbelianPresheaf",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient"
  ],
  "signature": {
    "constants": {},
    "parameters": [
      {
        "labels": [],
        "name": "f",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:category-theory#Obj"
        }
      },
      {
        "labels": [],
        "name": "x",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#Space"
        }
      }
    ],
    "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on",
    "schemaVersion": "law.answers.signature/0.1",
    "types": {
      "urn:stacks:clir:category-theory#Obj": {
        "kind": "unknown"
      },
      "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#Space": {
        "kind": "entity",
        "labels": [
          {
            "language": "en",
            "status": "official",
            "text": "topological space"
          },
          {
            "language": "ru",
            "status": "unofficial",
            "text": "топологическое пространство"
          }
        ],
        "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
        "package": "stacks.sheaf_cohomology"
      }
    },
    "vocab": {}
  },
  "vulnerableTo": [
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf",
      "missing": [
        "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedGluing"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf",
      "missing": [
        "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedUniqueness"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)",
      "missing": [
        "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByRefutingCovering"
    }
  ],
  "whyNot": []
}

Исполнение · JSON

{
  "evaluationBytes": "{\"conflicts\":[],\"issues\":[],\"manifest\":{\"artifactHash\":\"sha256:5269ca43c11ea65fffcd8e3589fba8c3a899f2d863c75d0992e8b0cf57a9ea99\",\"calendarSnapshot\":\"\",\"caseHash\":\"sha256:a28ce816820b92ab076db604e2ee24912a3cca06c797faeccfc0a6cf2249c6c3\",\"decisionTime\":\"2026-09-06T12:00:00+05:00\",\"evidenceSnapshotHash\":\"sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\",\"externalSnapshots\":{},\"id\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"interpretations\":[],\"knowledgeTime\":\"2026-09-06T12:00:00+05:00\",\"legalTime\":\"2026-09-06\",\"lockfileHash\":\"sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\",\"mode\":\"audit\",\"policies\":{},\"programHash\":\"sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e\",\"resolvedEditions\":{},\"semanticHash\":\"sha256:6d4ee2eb96c4090c5c0aa2a79391c88683933f7e0b93dade8e7bf518480e49e3\",\"semantics\":\"law.core/0.2\",\"theoryHash\":\"sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e\",\"timezone\":\"Asia/Qyzylorda\"},\"positions\":[],\"proofGraph\":{\"nodes\":[{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-1\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-2\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_group_structure\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"definition\":{\"concept\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on\",\"mode\":\"exact\",\"part\":\"sufficient\"}},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-3\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:eaf6a9aa2d0b4a500dc473cfcc0200ff61ea9beb9b8b4c6f79c6657450c8afd0\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v2\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyAbelianPresheaf\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v2\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:GodementResolutionExists:c3529a34c74fd31d4c672c809a4ecb778e70d8af01b9f392fdbc88127dbc32ff\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:SheafifyUniversal:08e13163bd01f4b2580ae4fbd1215e62a1d2eacd896fef56d26ee23b484b96a7\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v2\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"constraint\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/necessary\",\"requirementStatus\":\"TRUE_ONLY\",\"status\":\"SATISFIED\",\"triggerStatus\":\"SATISFIED\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4\",\"kind\":\"constraint_check\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:7889dfde746f9ab8807eab1f0add64a003fcaf203a97fcbecbe717dcc9c62dae\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\"],\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"literal\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on\"},\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:query:mcp\",\"kind\":\"query_evaluation\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:SheafifyAbelianPresheaf:71a0ffc581c9d38c8ed87215ff07264a41e544119fcaff883a64071bf550b44a\"],\"sourceAnchors\":[]}],\"proofHash\":\"sha256:19ec6d489113976ca6298af1f6aad1cb43475c6c9928bca7f8cec72b17567d90\",\"roots\":[\"urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4\",\"urn:proof:query:mcp\"]},\"resultHash\":\"sha256:a7ecf5f0ad9b5b795a1992270606048d2aee076e31f2a295d95616e9a1bac8ba\",\"results\":[{\"conflicts\":[],\"evaluationStatus\":\"COMPUTED\",\"evidence\":[],\"id\":\"urn:result:mcp\",\"judgmentRequests\":[],\"manifest\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"missingInputs\":[],\"normativeStatusSupports\":[],\"proof\":\"urn:proof:query:mcp\",\"query\":\"urn:query:mcp\",\"resultKind\":\"PROPOSITION\",\"sourceAnchors\":[],\"target\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on\",\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"},{\"applicabilityStatus\":\"APPLICABLE\",\"conflicts\":[],\"evaluationStatus\":\"COMPUTED\",\"evidence\":[],\"id\":\"urn:result:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:f94ce9c98da027a9\",\"judgmentRequests\":[],\"manifest\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"missingInputs\":[],\"normativeStatus\":\"SATISFIED\",\"normativeStatusSupports\":[],\"proof\":\"urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:d9e2399cdfdd101b1998dce82c1b5e113c483740c26e7506b19c323888ffd3c4\",\"query\":\"urn:query:mcp\",\"resultKind\":\"CONSTRAINT\",\"sourceAnchors\":[],\"target\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/necessary\",\"triggerStatus\":\"SATISFIED\",\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"}],\"schemaVersion\":\"law.core.evaluation/0.2\"}",
  "evaluationSha256": "sha256:660311d3d2095dac745534a21a0f23d25eee3b82a4c3839e12ec3e0ae349d7ad",
  "request": {
    "case": {
      "assertions": [
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_group_structure"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology"
        }
      ],
      "context": {
        "decisionTime": "2026-09-06T12:00:00+05:00",
        "knowledgeTime": "2026-09-06T12:00:00+05:00",
        "legalTime": "2026-09-06",
        "timezone": "Asia/Qyzylorda"
      },
      "options": {
        "selectedInterpretations": []
      }
    },
    "ir": {
      "irSha256": "sha256:63cba186192426450399328e45e57b3ee07713867431d6f26c106fd5a6bae87e",
      "kind": "world_ref",
      "nodeCount": 181,
      "packages": [
        {
          "artifactHash": "sha256:5269ca43c11ea65fffcd8e3589fba8c3a899f2d863c75d0992e8b0cf57a9ea99",
          "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
          "package": "stacks-sheaf-cohomology",
          "semanticHash": "sha256:1ee2443e666f565715a3e3a5663914219d324c205aa6004f03c007d582687303"
        }
      ],
      "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e"
    },
    "query": {
      "kind": "truth",
      "literal": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
            "kind": "entity_ref"
          },
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:x",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on"
      },
      "queryId": "urn:query:mcp"
    },
    "schemaVersion": "law.core.evaluation-request/0.2",
    "semanticVersion": "0.2"
  },
  "requestCanonicalSha256": "sha256:e1401480563c107ab3f789156f9c32d91af5df7067072f3bf5831baded03fb54"
}

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 26,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_007Y",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0080",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0085",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "package": "stacks-sheaf-cohomology",
      "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:a28ce816820b92ab076db604e2ee24912a3cca06c797faeccfc0a6cf2249c6c3",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e",
  "resultHash": "sha256:a7ecf5f0ad9b5b795a1992270606048d2aee076e31f2a295d95616e9a1bac8ba",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:660311d3d2095dac745534a21a0f23d25eee3b82a4c3839e12ec3e0ae349d7ad

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:fsharp",
    "urn:case:stacks:sh:x"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:fsharp",
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "plus_construction"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "abelian_sheaf_on",
  "proof": true
}

Из предпучка строится пучок: конструкция сохраняет структуру абелевой группы.

Проверка условия

Универсальность пучкования

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

0080: всякое отображение $F → H$ в пучок множеств единственным образом раскладывается как $F → F^# → H$

ffsharp

Исходные факты

$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: fx: x
$G = F^#$ — пучковизация предпучка $F$ : сечения над $U$ суть согласованные семейства ростков (Sheaves, раздел 007X), с каноническим отображением $F → F^#$
g: fsharpf: f

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:f",
    "urn:case:stacks:sh:fsharp"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:fsharp",
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "plus_construction"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "universal_among_maps_to_sheaves",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода4 шагов

1
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
2
$G = F^#$ — пучковизация предпучка $F$ : сечения над $U$ суть согласованные семейства ростков (Sheaves, раздел 007X), с каноническим отображением $F → F^#$
g: urn:case:stacks:sh:fsharp; f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
3
0080: для предпучка множеств $F$ всякое отображение $F → H$ в пучок единственным образом проходит через $F → F^#$
0080: всякое отображение $F → H$ в пучок множеств единственным образом раскладывается как $F → F^# → H$ : f: urn:case:stacks:sh:f; g: urn:case:stacks:sh:fsharp
тег 0080
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal
правило
4
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 2 · факт дела: 2 · Полный граф: 5 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

0080: для предпучка множеств $F$ всякое отображение $F → H$ в пучок единственным образом проходит через $F → F^#$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal

Другие правила расчёта1

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

007Y: предпучок $F^#$ — пучок
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf

Вывод по запросу

0080: всякое отображение $F → H$ в пучок множеств единственным образом раскладывается как $F → F^# → H$
f: fg: fsharp

Другие выводы1

$F$ — пучок множеств на $X$
f: fsharpx: x

$F$ — пучок множеств на $X$
f	x
urn:case:stacks:sh:fsharp	urn:case:stacks:sh:x

0080: всякое отображение $F → H$ в пучок множеств единственным образом раскладывается как $F → F^# → H$
f	g
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:fsharp

Что способно поразить вывод3 правил

1
006T: предпучок, у которого согласованные семейства сечений не склеиваются, — не пучок
Чего не хватает
- 006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$ fsharpНе установленоименно этого не хватает
- $F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$ fsharp, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedGluing
правило
2
006T: предпучок, в котором склеенное сечение не единственно, — не пучок
Чего не хватает
- 006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытиеfsharpНе установленоименно этого не хватает
- $F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$ fsharp, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedUniqueness
правило
3
006T: предпучок, опровергнутый открытым покрытием, — не пучок множеств на $X$
Чего не хватает
- $F$ — не пучок на $X$ : условие 006T провалено на некотором открытом покрытииfsharp, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering
правило

Граф доказательств

Граф доказательства · 3 слой

Узлы доказательств: 5 · assertion 2, rule_application 2, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

presheaf_of_sets_on

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref
Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

plus_construction

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:af06faaad567ecfebddfcbec65edca5aaad2d911c935bbe8196ed80f8a0b22d2

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

sheaf_of_sets_on

evidence

—

Идентификатор

af06faaad567ecfebddfcbec65edca5aaad2d911c935bbe8196ed80f8a0b22d2

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

SheafificationIsSheaf

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: fsharp
Тип: entity_ref

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

universal_among_maps_to_sheaves

evidence

—

Идентификатор

7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2

Правило

SheafifyUniversal

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: fsharp
Тип: entity_ref

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
fsharp
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

universal_among_maps_to_sheaves

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
    "universal_among_maps_to_sheaves(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:fsharp)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:af06faaad567ecfebddfcbec65edca5aaad2d911c935bbe8196ed80f8a0b22d2",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                  "kind": "entity_ref"
                },
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:b60fec6a75f8d07e9a748c967d53106bef7e309d53d3a3ecdc9a0b58f36b744a",
      "roots": [
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:b17365cb02039921b139c2e3dc238b7c0b84788c86a4b6744c37ff68dd75536b",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.2"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal"
  ],
  "vulnerableTo": [
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf",
      "missing": [
        "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedGluing"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf",
      "missing": [
        "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedUniqueness"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)",
      "missing": [
        "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByRefutingCovering"
    }
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 3

tag/006T

Let $X$ be a topological space.
A sheaf $\mathcal{F}$ of sets on $X$ is a presheaf of sets which satisfies the following additional property: Given any open covering $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ and any collection of sections $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ , $i \in I$ such that $\forall i, j\in I$
$s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$
there exists a unique section $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s_i = s|_{U_i}$ for all $i \in I$ .
A morphism of sheaves of sets is simply a morphism of presheaves of sets.
The category of sheaves of sets on $X$ is denoted $\Sh(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:8504f30501fb40b30a60685a51aad76a416258206ec9a839891f7bf83cd38323",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006T",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:041460b360dfa6a9d137bed749118fd98c2764c6ac5b9058dcb5aa7167313f76",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it sheaf $\\mathcal{F}$ of sets on $X$} is a presheaf\nof sets which satisfies the following additional property: Given\nany open covering $U = \\bigcup_{i \\in I} U_i$ and any collection\nof sections $s_i \\in \\mathcal{F}(U_i)$, $i \\in I$ such that\n$\\forall i, j\\in I$\n$$\ns_i|_{U_i \\cap U_j} = s_j|_{U_i \\cap U_j}\n$$\nthere exists a unique section $s \\in \\mathcal{F}(U)$ such that\n$s_i = s|_{U_i}$ for all $i \\in I$.\n\\item A {\\it morphism of sheaves of sets} is simply a\nmorphism of presheaves of sets.\n\\item The category of sheaves of sets on $X$ is denoted\n$\\Sh(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/007Y

The presheaf $\mathcal{F}^{\#}$ is a sheaf.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:86546cd976c19579e8056b4fcbae7d781851f1b8799d12d0fba16321efaee59c",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_007Y",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/007Y",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:282a15f0475c3f68a862ce8346d7972c4f62ab14daa09a1922c02bb9f01c558e",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-sheafification-sheaf}\nThe presheaf $\\mathcal{F}^{\\#}$ is a sheaf.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0080

Let $\mathcal{F}$ be a presheaf of sets on $X$ . Any map $\mathcal{F} \to \mathcal{G}$ into a sheaf of sets factors uniquely as $\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:9b004386054af3ebceab40302636bc759c8a1b7c732a3984765235c76fc000c4",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0080",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0080",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:2ba5dec16073f1fdafcf8a352bfc30f215d20caf060e768c51658875dc939220",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-sheafify-universal}\nLet $\\mathcal{F}$ be a presheaf of sets on $X$.\nAny map $\\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$ into a sheaf of sets\nfactors uniquely as\n$\\mathcal{F} \\to \\mathcal{F}^\\# \\to \\mathcal{G}$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

Пакеты в снимке

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

universal_among_maps_to_sheaves: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x); universal_among_maps_to_sheaves(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:fsharp) Применены правила: SheafificationIsSheaf, SheafifyUniversal Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf» — оно отменило бы вывод, будь установлено: compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp); presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x) Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf» — оно отменило бы вывод, будь установлено: gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp); presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x) Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on $X$» — оно отменило бы вывод, будь установлено: not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x) (поражающее правило не сработало из-за неустановленных фактов — подайте их в facts, если они есть в деле) Право (вне юрисдикции государства): Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — доктрина (programHash sha256:6b62eb59e903…) proof-граф: 5 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

{
  "answer": {
    "evaluationStatus": "COMPUTED",
    "kind": "TRUTH",
    "meaning": "установлено",
    "missingInputs": [],
    "truthStatus": "TRUE_ONLY"
  },
  "closedEditionRules": [],
  "derived": [
    "sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
    "universal_among_maps_to_sheaves(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:fsharp)"
  ],
  "derivedOmitted": 0,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:af06faaad567ecfebddfcbec65edca5aaad2d911c935bbe8196ed80f8a0b22d2",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                  "kind": "entity_ref"
                },
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:b60fec6a75f8d07e9a748c967d53106bef7e309d53d3a3ecdc9a0b58f36b744a",
      "roots": [
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:b17365cb02039921b139c2e3dc238b7c0b84788c86a4b6744c37ff68dd75536b",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.2"
  },
  "evaluationStatus": "COMPUTED",
  "issues": [],
  "judgmentRequests": [],
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "provenance": {
    "acts": [
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 26,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_007Y",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0080"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
        "package": "stacks-sheaf-cohomology",
        "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
      }
    ],
    "caseHash": "sha256:63d31f683e3fe278f5ccca9a4f909921d7f0367e740eba645a7f56512080c064",
    "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
    "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
    "legalTime": "2026-09-06",
    "mode": "audit",
    "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e",
    "resultHash": "sha256:b17365cb02039921b139c2e3dc238b7c0b84788c86a4b6744c37ff68dd75536b",
    "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
    "timezone": "Asia/Qyzylorda"
  },
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal"
  ],
  "signature": {
    "constants": {},
    "parameters": [
      {
        "labels": [],
        "name": "f",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:category-theory#Obj"
        }
      },
      {
        "labels": [],
        "name": "g",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:category-theory#Obj"
        }
      }
    ],
    "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves",
    "schemaVersion": "law.answers.signature/0.1",
    "types": {
      "urn:stacks:clir:category-theory#Obj": {
        "kind": "unknown"
      }
    },
    "vocab": {}
  },
  "vulnerableTo": [
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf",
      "missing": [
        "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedGluing"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf",
      "missing": [
        "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
        "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)",
          "status": "NEITHER"
        },
        {
          "premise": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByFailedUniqueness"
    },
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)",
      "missing": [
        "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByRefutingCovering"
    }
  ],
  "whyNot": []
}

Исполнение · JSON

{
  "evaluationBytes": "{\"conflicts\":[],\"issues\":[],\"manifest\":{\"artifactHash\":\"sha256:5269ca43c11ea65fffcd8e3589fba8c3a899f2d863c75d0992e8b0cf57a9ea99\",\"calendarSnapshot\":\"\",\"caseHash\":\"sha256:63d31f683e3fe278f5ccca9a4f909921d7f0367e740eba645a7f56512080c064\",\"decisionTime\":\"2026-09-06T12:00:00+05:00\",\"evidenceSnapshotHash\":\"sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\",\"externalSnapshots\":{},\"id\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"interpretations\":[],\"knowledgeTime\":\"2026-09-06T12:00:00+05:00\",\"legalTime\":\"2026-09-06\",\"lockfileHash\":\"sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\",\"mode\":\"audit\",\"policies\":{},\"programHash\":\"sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e\",\"resolvedEditions\":{},\"semanticHash\":\"sha256:9a615a73a1376336e2bb4b4e475a713ded831a4f96e256c72dd6847d0551984a\",\"semantics\":\"law.core/0.2\",\"theoryHash\":\"sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e\",\"timezone\":\"Asia/Qyzylorda\"},\"positions\":[],\"proofGraph\":{\"nodes\":[{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-1\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{\"assertion\":\"urn:mcp:case#fact-2\"},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\",\"kind\":\"assertion\",\"premises\":[],\"sourceAnchors\":[]},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:SheafificationIsSheaf:af06faaad567ecfebddfcbec65edca5aaad2d911c935bbe8196ed80f8a0b22d2\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v2\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397\",\"kind\":\"rule_application\",\"premises\":[\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1\",\"urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2\"],\"rule\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal\",\"sourceAnchors\":[],\"substitution\":{\"v0\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v1\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},\"v2\":{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:x\",\"kind\":\"entity_ref\"}}},{\"attributes\":{},\"conclusion\":{\"literal\":{\"args\":[{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:f\",\"kind\":\"entity_ref\"},{\"id\":\"urn:case:stacks:sh:fsharp\",\"kind\":\"entity_ref\"}],\"kind\":\"literal\",\"polarity\":\"positive\",\"predicate\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves\"},\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"},\"evidence\":[],\"id\":\"urn:proof:query:mcp\",\"kind\":\"query_evaluation\",\"premises\":[\"urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397\"],\"sourceAnchors\":[]}],\"proofHash\":\"sha256:b60fec6a75f8d07e9a748c967d53106bef7e309d53d3a3ecdc9a0b58f36b744a\",\"roots\":[\"urn:proof:query:mcp\"]},\"resultHash\":\"sha256:b17365cb02039921b139c2e3dc238b7c0b84788c86a4b6744c37ff68dd75536b\",\"results\":[{\"conflicts\":[],\"evaluationStatus\":\"COMPUTED\",\"evidence\":[],\"id\":\"urn:result:mcp\",\"judgmentRequests\":[],\"manifest\":\"urn:manifest:oracle-1\",\"missingInputs\":[],\"normativeStatusSupports\":[],\"proof\":\"urn:proof:query:mcp\",\"query\":\"urn:query:mcp\",\"resultKind\":\"PROPOSITION\",\"sourceAnchors\":[],\"target\":\"urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves\",\"truthStatus\":\"TRUE_ONLY\"}],\"schemaVersion\":\"law.core.evaluation/0.2\"}",
  "evaluationSha256": "sha256:bb6b9c8bb5830382dc347c3d5d63d7c38df4cf39775a6d713774db2edbfbb2e9",
  "request": {
    "case": {
      "assertions": [
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology"
        },
        {
          "contentHash": "sha256:0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000",
          "evidence": [],
          "id": "urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "literal": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction"
          },
          "origin": "case_input",
          "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology"
        }
      ],
      "context": {
        "decisionTime": "2026-09-06T12:00:00+05:00",
        "knowledgeTime": "2026-09-06T12:00:00+05:00",
        "legalTime": "2026-09-06",
        "timezone": "Asia/Qyzylorda"
      },
      "options": {
        "selectedInterpretations": []
      }
    },
    "ir": {
      "irSha256": "sha256:63cba186192426450399328e45e57b3ee07713867431d6f26c106fd5a6bae87e",
      "kind": "world_ref",
      "nodeCount": 181,
      "packages": [
        {
          "artifactHash": "sha256:5269ca43c11ea65fffcd8e3589fba8c3a899f2d863c75d0992e8b0cf57a9ea99",
          "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
          "package": "stacks-sheaf-cohomology",
          "semanticHash": "sha256:1ee2443e666f565715a3e3a5663914219d324c205aa6004f03c007d582687303"
        }
      ],
      "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e"
    },
    "query": {
      "kind": "truth",
      "literal": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:f",
            "kind": "entity_ref"
          },
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
      },
      "queryId": "urn:query:mcp"
    },
    "schemaVersion": "law.core.evaluation-request/0.2",
    "semanticVersion": "0.2"
  },
  "requestCanonicalSha256": "sha256:8474546a48d586830a2f3b70460fde07d1d669f2aea7b27c369bd7e64de3080c"
}

Метаданные отображения

{
  "blockers": {
    "vulnerableTo": [
      {
        "anchors": [
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
        ],
        "label": "006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf",
        "premises": [
          {
            "args": [
              "urn:case:stacks:sh:fsharp"
            ],
            "missing": true,
            "predicate": "compatible_sections_glue",
            "predicateId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#compatible_sections_glue",
            "status": "NEITHER",
            "text": "compatible_sections_glue(urn:case:stacks:sh:fsharp)"
          },
          {
            "args": [
              "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "urn:case:stacks:sh:x"
            ],
            "missing": true,
            "predicate": "presheaf_of_sets_on",
            "predicateId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on",
            "status": "NEITHER",
            "text": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
          }
        ],
        "rule": "NotSheafByFailedGluing",
        "ruleId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedGluing"
      },
      {
        "anchors": [
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
        ],
        "label": "006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf",
        "premises": [
          {
            "args": [
              "urn:case:stacks:sh:fsharp"
            ],
            "missing": true,
            "predicate": "gluing_is_unique",
            "predicateId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#gluing_is_unique",
            "status": "NEITHER",
            "text": "gluing_is_unique(urn:case:stacks:sh:fsharp)"
          },
          {
            "args": [
              "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "urn:case:stacks:sh:x"
            ],
            "missing": true,
            "predicate": "presheaf_of_sets_on",
            "predicateId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on",
            "status": "NEITHER",
            "text": "presheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
          }
        ],
        "rule": "NotSheafByFailedUniqueness",
        "ruleId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedUniqueness"
      },
      {
        "anchors": [
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
        ],
        "label": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)",
        "premises": [
          {
            "args": [
              "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "urn:case:stacks:sh:x"
            ],
            "missing": true,
            "predicate": "not_a_sheaf",
            "predicateId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#not_a_sheaf",
            "status": "NEITHER",
            "text": "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:fsharp, urn:case:stacks:sh:x)"
          }
        ],
        "rule": "NotSheafByRefutingCovering",
        "ruleId": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering"
      }
    ]
  },
  "schemaVersion": "law.answers.presentation/0.1",
  "source": {
    "requestCanonicalSha256": "sha256:8474546a48d586830a2f3b70460fde07d1d669f2aea7b27c369bd7e64de3080c"
  },
  "steps": [
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:f",
            "kind": "entity_ref"
          },
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:x",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "assertionOrigin": "case_input",
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
            "kind": "entity_ref"
          },
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:f",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction"
      },
      "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
      "kind": "assertion",
      "originStatus": "available",
      "premises": [],
      "trust": "case"
    },
    {
      "conclusion": {
        "args": [
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:f",
            "kind": "entity_ref"
          },
          {
            "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
            "kind": "entity_ref"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
      },
      "head": {
        "args": [
          {
            "kind": "var",
            "var": "v1"
          },
          {
            "kind": "var",
            "var": "v0"
          }
        ],
        "kind": "literal",
        "polarity": "positive",
        "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
      },
      "id": "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397",
      "kind": "rule_application",
      "originStatus": "available",
      "premises": [
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
        "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
      ],
      "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
      "sourceAnchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0080"
      ],
      "strength": "strict",
      "substitution": {
        "v0": {
          "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
          "kind": "entity_ref"
        },
        "v1": {
          "id": "urn:case:stacks:sh:f",
          "kind": "entity_ref"
        },
        "v2": {
          "id": "urn:case:stacks:sh:x",
          "kind": "entity_ref"
        }
      },
      "trust": "engine",
      "variables": [
        {
          "id": "v0",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "v1",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "v2",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#Space"
          }
        }
      ]
    },
    {
      "conclusion": {
        "literal": {
          "args": [
            {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            {
              "id": "urn:case:stacks:sh:fsharp",
              "kind": "entity_ref"
            }
          ],
          "kind": "literal",
          "polarity": "positive",
          "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves"
        },
        "truthStatus": "TRUE_ONLY"
      },
      "id": "urn:proof:query:mcp",
      "kind": "query_evaluation",
      "originStatus": "available",
      "premises": [
        "urn:proof:apply:SheafifyUniversal:7d4d94c6095ac3eacf4b6206ef85c2263db401ffcb569905a6f09c98cbba0397"
      ],
      "trust": "engine"
    }
  ],
  "symbols": [
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedGluing",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "006T: a presheaf whose compatible families of sections do not glue is not a sheaf"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "006T: предпучок, у которого согласованные семейства сечений не склеиваются, — не пучок"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByFailedUniqueness",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "006T: a presheaf in which a glued section is not unique is not a sheaf"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "006T: предпучок, в котором склеенное сечение не единственно, — не пучок"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "006T: предпучок, опровергнутый открытым покрытием, — не пучок множеств на \\(X\\)"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafificationIsSheaf",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "007Y: the presheaf \\(F^#\\) is a sheaf"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "007Y: предпучок \\(F^#\\) — пучок"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafifyUniversal",
      "kind": "rule",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "0080: for a presheaf of sets \\(F\\), any map \\(F → H\\) into a sheaf factors uniquely through \\(F → F^#\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "0080: для предпучка множеств \\(F\\) всякое отображение \\(F → H\\) в пучок единственным образом проходит через \\(F → F^#\\)"
        }
      ],
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "strength": "strict"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#Space",
      "kind": "type_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "topological space"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "топологическое пространство"
        }
      ],
      "name": "Space",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#compatible_sections_glue",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "006T, existence: for every open covering \\(U = ∪ U_i\\) and sections \\(s_i ∈ F(U_i)\\) with \\(s_i|U_i∩U_j = s_j|U_i∩U_j\\) there exists \\(s ∈ F(U)\\) with \\(s|U_i = s_i\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "006T, существование: для всякого открытого покрытия \\(U = ∪ U_i\\) и сечений \\(s_i ∈ F(U_i)\\), согласованных на пересечениях, существует \\(s ∈ F(U)\\) с \\(s|U_i = s_i\\)"
        }
      ],
      "name": "compatible_sections_glue",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#compatible_sections_glue/arg/f",
          "labels": [],
          "name": "f",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#gluing_is_unique",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "006T, uniqueness: a section \\(s ∈ F(U)\\) is determined by its restrictions \\(s|U_i\\) to an open covering"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "006T, единственность: сечение \\(s ∈ F(U)\\) определяется своими ограничениями \\(s|U_i\\) на открытое покрытие"
        }
      ],
      "name": "gluing_is_unique",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#gluing_is_unique/arg/f",
          "labels": [],
          "name": "f",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#not_a_sheaf",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "\\(F\\) is not a sheaf on \\(X\\): the sheaf condition 006T fails on some open covering"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "\\(F\\) — не пучок на \\(X\\): условие 006T провалено на некотором открытом покрытии"
        }
      ],
      "name": "not_a_sheaf",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#not_a_sheaf/arg/f",
          "labels": [],
          "name": "f",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#not_a_sheaf/arg/x",
          "labels": [],
          "name": "x",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#Space"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "\\(G = F^#\\) is the sheafification of the presheaf \\(F\\): sections over \\(U\\) are compatible families of germs (Sheaves, Section 007X), with the canonical map \\(F → F^#\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "\\(G = F^#\\) — пучковизация предпучка \\(F\\): сечения над \\(U\\) суть согласованные семейства ростков (Sheaves, раздел 007X), с каноническим отображением \\(F → F^#\\)"
        }
      ],
      "name": "plus_construction",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction/arg/g",
          "labels": [],
          "name": "g",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#plus_construction/arg/f",
          "labels": [],
          "name": "f",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "\\(F\\) is a presheaf of sets on \\(X\\): a rule assigning a set \\(F(U)\\) to each open \\(U\\) and restriction maps \\(ρ^U_V\\) to inclusions \\(V ⊂ U\\) with \\(ρ^U_U = id\\) and \\(ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "\\(F\\) — предпучок множеств на \\(X\\): правило, сопоставляющее каждому открытому \\(U\\) множество \\(F(U)\\), а вложениям \\(V ⊂ U\\) — отображения ограничения \\(ρ^U_V\\) с \\(ρ^U_U = id\\) и \\(ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V\\)"
        }
      ],
      "name": "presheaf_of_sets_on",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on/arg/f",
          "labels": [],
          "name": "f",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on/arg/x",
          "labels": [],
          "name": "x",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#Space"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "\\(F\\) is a sheaf of sets on \\(X\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "\\(F\\) — пучок множеств на \\(X\\)"
        }
      ],
      "name": "sheaf_of_sets_on",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on/arg/f",
          "labels": [],
          "name": "f",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on/arg/x",
          "labels": [],
          "name": "x",
          "type": {
            "name": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#Space"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    },
    {
      "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves",
      "kind": "symbol_decl",
      "labels": [
        {
          "language": "en",
          "status": "official",
          "text": "0080: any map \\(F → H\\) into a sheaf of sets factors uniquely as \\(F → F^# → H\\)"
        },
        {
          "language": "ru",
          "status": "unofficial",
          "text": "0080: всякое отображение \\(F → H\\) в пучок множеств единственным образом раскладывается как \\(F → F^# → H\\)"
        }
      ],
      "name": "universal_among_maps_to_sheaves",
      "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "parameters": [
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves/arg/f",
          "labels": [],
          "name": "f",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        },
        {
          "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#universal_among_maps_to_sheaves/arg/g",
          "labels": [],
          "name": "g",
          "type": {
            "name": "stacks.category_theory#Obj"
          }
        }
      ],
      "symbolKind": "relation"
    }
  ],
  "tables": []
}

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 26,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_007Y",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0080"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "package": "stacks-sheaf-cohomology",
      "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:63d31f683e3fe278f5ccca9a4f909921d7f0367e740eba645a7f56512080c064",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e",
  "resultHash": "sha256:b17365cb02039921b139c2e3dc238b7c0b84788c86a4b6744c37ff68dd75536b",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:bb6b9c8bb5830382dc347c3d5d63d7c38df4cf39775a6d713774db2edbfbb2e9

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:f",
    "urn:case:stacks:sh:fsharp"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:fsharp",
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "plus_construction"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "universal_among_maps_to_sheaves",
  "proof": true
}

Пучкование универсально среди отображений предпучка в пучки: через него пропускается любое такое отображение.

Проверка условия

H⁰ равна глобальным сечениям

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

01DZ: $H^n(X, F)$ , n-я группа когомологий абелева пучка $F$ , — данный объект

x0fh0

Исходные факты

категория есть $Ab(X)$ — категория пучков абелевых групп на $X$
c: abxx: x
категория есть $Ab$ — категория абелевых групп
ab: ab
функтор есть $Γ(X, −): Ab(X) → Ab, F ↦ Γ(X, F) = F(X)$
g: gammax: x
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: fx: x
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: f
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: f
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: f
$Γ(X, F) = F(X)$ — данная абелева группа
f: fx: xh: h0

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:x",
    0,
    "urn:case:stacks:sh:f",
    "urn:case:stacks:sh:h0"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x",
        "urn:case:stacks:sh:h0"
      ],
      "predicate": "global_sections"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "sheaf_cohomology",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода30 шагов

1
категория есть $Ab(X)$ — категория пучков абелевых групп на $X$
c: urn:case:stacks:sh:abx; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
2
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive
правило
3
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всякого морфизма
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage
правило
4
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все коядра существуют
в категории существуют все коядра: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels
правило
5
01DG: в категории абелевых пучков на топологическом пространстве $X$ достаточно инъективных
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$ : c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01DG
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives
правило
6
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все ядра существуют
в категории существуют все ядра: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels
правило
7
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
8
категория есть $Ab$ — категория абелевых групп
ab: urn:case:stacks:sh:ab
факт дела
9
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive
правило
10
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage
правило
11
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все коядра существуют
в категории существуют все коядра: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels
правило
12
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все ядра существуют
в категории существуют все ядра: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels
правило
13
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
14
функтор есть $Γ(X, −): Ab(X) → Ab, F ↦ Γ(X, F) = F(X)$
g: urn:case:stacks:sh:gamma; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
15
0716: $Γ(X, −)$ — функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$ : f: urn:case:stacks:sh:gamma; a: urn:case:stacks:sh:abx; b: urn:case:stacks:sh:ab
тег 0716
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween
правило
16
0716: $Γ(X, −)$ — точный слева функтор
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 0716
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact
правило
17
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
0034 (1): функтор точен слева: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
правило
18
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
функтор аддитивен: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
правило
19
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 05TI, тег 05SV, тег 05T4
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined
правило
20
05TD (3): если $RF$ определён всюду и $F$ точен слева, то $F → R^0F$ — изоморфизм
05TD (3): отображение $F → R^0F$ — изоморфизм: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 05TD
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact
правило
21
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
22
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
23
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006K
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient
правило
24
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
25
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
26
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
$F$ — пучок множеств на $X$ : f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
правило
27
0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок: f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 0070
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
правило
28
$Γ(X, F) = F(X)$ — данная абелева группа
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x; h: urn:case:stacks:sh:h0
факт дела
29
006E с 05TD (3): $H^0(X, F) = Γ(X, F)$ , поскольку $Γ(X, −)$ точен слева
01DZ: $H^n(X, F)$ , n-я группа когомологий абелева пучка $F$ , — данный объект: x: urn:case:stacks:sh:x; n: 0; f: urn:case:stacks:sh:f; h: urn:case:stacks:sh:h0
тег 006E, тег 0716
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#H0IsGlobalSections
правило
30
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 22 · факт дела: 8 · Полный граф: 41 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TD (3): если $RF$ определён всюду и $F$ точен слева, то $F → R^0F$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всякого морфизма
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels
01DG: в категории абелевых пучков на топологическом пространстве $X$ достаточно инъективных
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels
0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
0716: $Γ(X, −)$ — функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween
0716: $Γ(X, −)$ — точный слева функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact
006E с 05TD (3): $H^0(X, F) = Γ(X, F)$ , поскольку $Γ(X, −)$ точен слева
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#H0IsGlobalSections
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient

Другие правила расчёта7

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor
015B (4): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ точен слева, то $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor
013K (1): в абелевой категории с достаточным запасом инъективных у всякого объекта есть инъективная резольвента
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

0070 (2): абелев пучок на $X$ — объект категории $Ab(X)$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX
01DZ: функторы $H^i(X, −)$ образуют универсальный $δ$ -функтор $Ab(X) → Ab$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#CohomologyUniversalDeltaFunctor
0FKS с 01AD: у всякого абелева пучка $F$ на $X$ есть резольвента Годемана $0 → F → f_*f^*F → …$ вялыми пучками
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists

Вывод по запросу

01DZ: $H^n(X, F)$ , n-я группа когомологий абелева пучка $F$ , — данный объект
x: xn: 0f: fh: h0

Другие выводы7

01DZ: семейство $H^i(X, −)$ образует универсальный $δ$ -функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
x: x
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: fx: x
$F$ — пучок множеств на $X$
f: fx: x
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f: fx: x
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: fc: abx
0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f: f
у объекта есть инъективная резольвента
a: f

01DZ: семейство $H^i(X, −)$ образует универсальный $δ$ -функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
x
x

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f	x
urn:case:stacks:sh:f	x

$F$ — пучок множеств на $X$
f	x
urn:case:stacks:sh:f	x

0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f	x
urn:case:stacks:sh:f	x

объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x	c
f	urn:case:stacks:sh:abx

0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f
urn:case:stacks:sh:f

у объекта есть инъективная резольвента
a
urn:case:stacks:sh:f

01DZ: $H^n(X, F)$ , n-я группа когомологий абелева пучка $F$ , — данный объект
x	n	f	h
x	0	urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:h0

Скрыто выведенных фактов: 20. В кратком ответе движок оставляет относящиеся к вопросу; полный перечень — в JSON расчёта ниже.

Что способно поразить вывод1 правил

1
006T: предпучок, опровергнутый открытым покрытием, — не пучок множеств на $X$
Чего не хватает
- $F$ — не пучок на $X$ : условие 006T провалено на некотором открытом покрытииf, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering
правило

Граф доказательств

Граф доказательства · 6 слой

Узлы доказательств: 41 · assertion 8, rule_application 28, constraint_check 4, query_evaluation 1

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

ИсточникиФрагментов: 19

tag/006E

Let $X$ be a topological space.
A presheaf $\mathcal{F}$ of sets on $X$ is a rule which assigns to each open $U \subset X$ a set $\mathcal{F}(U)$ and to each inclusion $V \subset U$ a map $\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$ such that $\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}$ and whenever $W \subset V \subset U$ we have $\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V$ .
A morphism $\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ of presheaves of sets on $X$ is a rule which assigns to each open $U \subset X$ a map of sets $\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ compatible with restriction maps, i.e., whenever $V \subset U \subset X$ are open the diagram
\xymatrix{
\mathcal{F}(U) \ar[r]^\varphi \ar[d]^{\rho^U_V} &
\mathcal{G}(U) \ar[d]^{\rho^U_V} \\
\mathcal{F}(V) \ar[r]^\varphi & \mathcal{G}(V)
}
Диаграмма: исходный TeX
commutes.
The category of presheaves of sets on $X$ will be denoted $\textit{PSh}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:5940ad0150140fcc429bfcb66cf91e0303638f57e88332528ed64e0204a1cc00",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006E",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006E",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e728b50fec00b5a51ffd85b7518d87d42e03d9b363884124cfca05a3aa077563",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-presheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it presheaf $\\mathcal{F}$ of sets on $X$} is a rule which\nassigns to each open $U \\subset X$ a set $\\mathcal{F}(U)$ and\nto each inclusion $V \\subset U$ a map\n$\\rho^U_V : \\mathcal{F}(U) \\to \\mathcal{F}(V)$ such that\n$\\rho^U_U = \\text{id}_{\\mathcal{F}(U)}$ and\nwhenever $W \\subset V \\subset U$ we have\n$\\rho^U_W = \\rho^V_W \\circ \\rho ^U_V$.\n\\item A {\\it morphism $\\varphi : \\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$\nof presheaves of sets on $X$} is a rule which assigns to each\nopen $U \\subset X$ a map of sets $\\varphi : \\mathcal{F}(U)\n\\to \\mathcal{G}(U)$ compatible with restriction maps,\ni.e., whenever $V \\subset U \\subset X$ are open the\ndiagram\n$$\n\\xymatrix{\n\\mathcal{F}(U) \\ar[r]^\\varphi \\ar[d]^{\\rho^U_V} &\n\\mathcal{G}(U) \\ar[d]^{\\rho^U_V} \\\\\n\\mathcal{F}(V) \\ar[r]^\\varphi & \\mathcal{G}(V)\n}\n$$\ncommutes.\n\\item The category of presheaves of sets on $X$ will be denoted\n$\\textit{PSh}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/006K

Let $X$ be a topological space.
A presheaf of abelian groups on $X$ or an abelian presheaf over $X$ is a presheaf of sets $\mathcal{F}$ such that for each open $U \subset X$ the set $\mathcal{F}(U)$ is endowed with the structure of an abelian group, and such that all restriction maps $\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see Lemma above.
A morphism of abelian presheaves over $X$ $\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ is a morphism of presheaves of sets which induces a homomorphism of abelian groups $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ for every open $U \subset X$ .
The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted $\textit{PAb}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:fa7c3dec36920848465ed2902237f8efade0877767eebcee37676bb1bb8717d9",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006K",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:b8388b54fb29de485ebd7c91f38c607f6005d41b4d427265a75b163118fd70d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-presheaves}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it presheaf of abelian groups on $X$} or an\n{\\it abelian presheaf over $X$}\nis a presheaf of sets $\\mathcal{F}$ such that for each open\n$U \\subset X$ the set $\\mathcal{F}(U)$ is endowed with\nthe structure of an abelian group, and such that all restriction\nmaps $\\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see\nLemma \\ref{lemma-abelian-presheaves} above.\n\\item A {\\it morphism of abelian presheaves over $X$}\n$\\varphi : \\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$ is a morphism of presheaves\nof sets which induces\na homomorphism of abelian groups $\\mathcal{F}(U) \\to \\mathcal{G}(U)$\nfor every open $U \\subset X$.\n\\item The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted\n$\\textit{PAb}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/006T

Let $X$ be a topological space.
A sheaf $\mathcal{F}$ of sets on $X$ is a presheaf of sets which satisfies the following additional property: Given any open covering $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ and any collection of sections $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ , $i \in I$ such that $\forall i, j\in I$
$s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$
there exists a unique section $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s_i = s|_{U_i}$ for all $i \in I$ .
A morphism of sheaves of sets is simply a morphism of presheaves of sets.
The category of sheaves of sets on $X$ is denoted $\Sh(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:8504f30501fb40b30a60685a51aad76a416258206ec9a839891f7bf83cd38323",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006T",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:041460b360dfa6a9d137bed749118fd98c2764c6ac5b9058dcb5aa7167313f76",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it sheaf $\\mathcal{F}$ of sets on $X$} is a presheaf\nof sets which satisfies the following additional property: Given\nany open covering $U = \\bigcup_{i \\in I} U_i$ and any collection\nof sections $s_i \\in \\mathcal{F}(U_i)$, $i \\in I$ such that\n$\\forall i, j\\in I$\n$$\ns_i|_{U_i \\cap U_j} = s_j|_{U_i \\cap U_j}\n$$\nthere exists a unique section $s \\in \\mathcal{F}(U)$ such that\n$s_i = s|_{U_i}$ for all $i \\in I$.\n\\item A {\\it morphism of sheaves of sets} is simply a\nmorphism of presheaves of sets.\n\\item The category of sheaves of sets on $X$ is denoted\n$\\Sh(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/0070

Let $X$ be a topological space.
An abelian sheaf on $X$ or sheaf of abelian groups on $X$ is an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of sets is a sheaf.
The category of sheaves of abelian groups is denoted $\textit{Ab}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:04f51a87121abeee45cd4e99f1379db299b359b4ac801017c7770a7f05d2c370",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0070",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3260f7d5e9cbfe266160539b8375cd23ac2429762aaa12eb860ad707dc28a6cd",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item An {\\it abelian sheaf on $X$} or\n{\\it sheaf of abelian groups on $X$}\nis an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of\nsets is a sheaf.\n\\item The category of sheaves of abelian groups\nis denoted $\\textit{Ab}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/01AD

Introduction
In this chapter we work out basic notions of sheaves of modules. This in particular includes the case of abelian sheaves, since these may be viewed as sheaves of $\underline{\mathbf{Z}}$ -modules. Basic references are , and . We work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi in another chapter (see Modules on Sites, Section ), although there we will mostly just duplicate the discussion from this chapter.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d0262bf7656850a1933eef167a360437aa2bb6436e57461a3d23de09e8cc8ef3",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AD",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3237316f9dec6bd87194ad43833111dbdf86cade5633082fbc0e7d50b3e2e7cf",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Introduction}\n\\label{section-introduction}\n\n\\noindent\nIn this chapter we work out basic notions of sheaves of modules.\nThis in particular includes the case of abelian sheaves, since\nthese may be viewed as sheaves of $\\underline{\\mathbf{Z}}$-modules.\nBasic references are \\cite{FAC}, \\cite{EGA} and \\cite{SGA4}.\n\n\\medskip\\noindent\nWe work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi\nin another chapter (see\nModules on Sites, Section \\ref{sites-modules-section-introduction}),\nalthough there we will mostly just duplicate the discussion\nfrom this chapter."
    }
  ]
}

tag/01AG

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover a complex
$\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}$
is exact at $\mathcal{G}$ if and only if for all $x \in X$ the complex
$\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x$
is exact at $\mathcal{G}_x$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:1bf6bd6db42698470b675022b39392436590d133c6e4e0e6f342e63ce50e5290",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:d40ca7777a52e10948b9c7e8da68432632fc0b8f4bb33c427370acaf48a4b19f",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover\na complex\n$$\n\\mathcal{F} \\to \\mathcal{G} \\to \\mathcal{H}\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}$ if and only if for all $x \\in X$ the\ncomplex\n$$\n\\mathcal{F}_x \\to \\mathcal{G}_x \\to \\mathcal{H}_x\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}_x$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/01DG

Let $X$ be a topological space. The category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives. In fact it has functorial injective embeddings.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:48de83780b89577a36cf370ecf47370fa86fe2d17276908d3fb411375d5e1ec7",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_INJECTIVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01DG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e4b4f09acb0a39efab590f7a0a1974dde000a27f6205d5284eb9b41b91b7f6d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian-sheaves-space}\nLet $X$ be a topological space.\nThe category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives.\nIn fact it has functorial injective embeddings.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/01DZ

Cohomology of sheaves
Let $X$ be a topological space. Let $\mathcal{F}$ be an abelian sheaf. We know that the category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives, see Injectives, Lemma . Hence we can choose an injective resolution $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ . As is customary we define H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) to be the $i$ th cohomology group of the abelian sheaf $\mathcal{F}$ . The family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}$ . Let $f : X \to Y$ be a continuous map of topological spaces. With $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ as above we define R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) to be the $i$ th higher direct image of $\mathcal{F}$ . The family of functors $R^if_*$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Y)$ . Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Let $\mathcal{F}$ be an $\mathcal{O}_X$ -module. We know that the category of $\mathcal{O}_X$ -modules on $X$ has enough injectives, see Injectives, Lemma . Hence we can choose an injective resolution $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ . As is customary we define H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) to be the $i$ th cohomology group of $\mathcal{F}$ . The family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(X)}$ . Let $f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ be a morphism of ringed spaces. With $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ as above we define R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) to be the $i$ th higher direct image of $\mathcal{F}$ . The family of functors $R^if_*$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:b1dd6e78bfe8178dd35b60b16af0e740bb77f76f64096d01aaa44a811d4491b3",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DZ",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01DZ",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:992dfb482cc74c054eb720fd53a56dd386827983f1cb4214bf3e7230a56ea9d3",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Cohomology of sheaves}\n\\label{section-cohomology-sheaves}\n\n\\noindent\nLet $X$ be a topological space. Let $\\mathcal{F}$ be an abelian sheaf.\nWe know that the category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives, see\nInjectives, Lemma \\ref{injectives-lemma-abelian-sheaves-space}.\nHence we can choose an injective resolution\n$\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. As is customary we define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-cohomology}\nH^i(X, \\mathcal{F}) = H^i(\\Gamma(X, \\mathcal{I}^\\bullet))\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th cohomology group of the abelian sheaf $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Ab}(X) \\to \\textit{Ab}$.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $f : X \\to Y$ be a continuous map of topological spaces. With\n$\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$ as above\nwe define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-higher-direct-image}\nR^if_*\\mathcal{F} = H^i(f_*\\mathcal{I}^\\bullet)\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th higher direct image of $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $R^if_*$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Ab}(X) \\to \\textit{Ab}(Y)$.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Let $\\mathcal{F}$ be an\n$\\mathcal{O}_X$-module. We know that the category of $\\mathcal{O}_X$-modules\non $X$ has enough injectives, see\nInjectives, Lemma \\ref{injectives-lemma-sheaves-modules-space}.\nHence we can choose an injective resolution\n$\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. As is customary we define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-cohomology-modules}\nH^i(X, \\mathcal{F}) = H^i(\\Gamma(X, \\mathcal{I}^\\bullet))\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th cohomology group of $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\text{Mod}_{\\mathcal{O}_X(X)}$.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $f : (X, \\mathcal{O}_X) \\to (Y, \\mathcal{O}_Y)$ be a morphism of ringed\nspaces. With $\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$ as above\nwe define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-higher-direct-image-modules}\nR^if_*\\mathcal{F} = H^i(f_*\\mathcal{I}^\\bullet)\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th higher direct image of $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $R^if_*$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_Y)$."
    }
  ]
}

tag/0716

Derived functors
We briefly explain how to get right derived functors using resolution functors. For the unbounded derived functors, please see Section . Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is abelian, see Modules, Lemma . In this chapter we will write
$K(\mathcal{O}_X) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \quad \text{and} \quad D(\mathcal{O}_X) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)).$
and similarly for the bounded versions for the triangulated categories introduced in Derived Categories, Definition and Definition . By Derived Categories, Remark there exists a resolution functor
$j = j_X : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})$
where $\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves. For any left exact functor $F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{B}$ into any abelian category $\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the right derived functor described in Derived Categories, Section and constructed using the resolution functor $j_X$ just described: RF = F \circ j_X' : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) see Derived Categories, Lemma for notation. Note that we may think of $RF$ as defined on $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ , $\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))$ , $K^{+}(X)$ , or $D^{+}(X)$ depending on the situation. According to Derived Categories, Definition we obtain the $i$ th right derived functor R^iF = H^i \circ RF : Mod (\mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{B} so that $R^0F = F$ and $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is universal $\delta$ -functor, see Derived Categories, Lemma . Here are two special cases of this construction. Given a ring $R$ we write $K(R) = K(\text{Mod}_R)$ and $D(R) = D(\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions. For any open $U \subset X$ we have a left exact functor $\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}$ which gives rise to R\Gamma(U, -) : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) by the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)$ . If $U = X$ we recover (). If $f : X \to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have the left exact functor $f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)$ which gives rise to the derived pushforward Rf_* : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(Y) The $i$ th cohomology sheaf of $Rf_*\mathcal{F}^\bullet$ is denoted $R^if_*\mathcal{F}^\bullet$ and called the $i$ th higher direct image in accordance with (). The two displayed functors above are exact functors of derived categories. Abuse of notation: When the functor $Rf_*$ , or any other derived functor, is applied to a sheaf $\mathcal{F}$ on $X$ or a complex of sheaves it is understood that $\mathcal{F}$ has been replaced by a suitable resolution of $\mathcal{F}$ . To facilitate this kind of operation we will say, given an object $\mathcal{F}^\bullet \in D(\mathcal{O}_X)$ , that a bounded below complex $\mathcal{I}^\bullet$ of injectives of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ represents $\mathcal{F}^\bullet$ in the derived category if there exists a quasi-isomorphism $\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet$ . In the same vein the phrase ``let $\alpha : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet$ be a morphism of $D(\mathcal{O}_X)$ '' does not mean that $\alpha$ is represented by a morphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will say so.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:0eee6ff9b997a29e65a9204cd10ad0d6c3337360eac630526713e3e18f1c9b03",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0716",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f61344b89b5447a2349b548070137ca4e6f491c90033bf637527fbd9f371c876",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Derived functors}\n\\label{section-derived-functors}\n\n\\noindent\nWe briefly explain how to get right derived functors using resolution\nfunctors. For the unbounded derived functors, please see\nSection \\ref{section-unbounded}.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is abelian, see\nModules, Lemma \\ref{modules-lemma-abelian}.\nIn this chapter we will write\n$$\nK(\\mathcal{O}_X) = K(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\quad\n\\text{and}\n\\quad\nD(\\mathcal{O}_X) = D(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)).\n$$\nand similarly for the bounded versions for the triangulated categories\nintroduced in\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-complexes-notation} and\nDefinition \\ref{derived-definition-unbounded-derived-category}.\nBy\nDerived Categories, Remark \\ref{derived-remark-big-abelian-category}\nthere exists a resolution functor\n$$\nj = j_X :\nK^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\longrightarrow\nK^{+}(\\mathcal{I})\n$$\nwhere $\\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves.\nFor any left exact functor\n$F : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\mathcal{B}$\ninto any abelian category $\\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the\nright derived functor described in\nDerived Categories, Section \\ref{derived-section-right-derived-functor}\nand constructed using the resolution functor $j_X$ just described:\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RF}\nRF = F \\circ j_X' : D^{+}(X) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n\\end{equation}\nsee\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-right-derived-functor}\nfor notation. Note that we may think of $RF$ as defined on\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$,\n$\\text{Comp}^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))$,\n$K^{+}(X)$, or $D^{+}(X)$\ndepending on the situation. According to\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-higher-derived-functors}\nwe obtain the $i$th right derived functor\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RFi}\nR^iF = H^i \\circ RF : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\longrightarrow \\mathcal{B}\n\\end{equation}\nso that $R^0F = F$ and $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is universal\n$\\delta$-functor, see\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-higher-derived-functors}.\n\n\\medskip\\noindent\nHere are two special cases of this construction.\nGiven a ring $R$ we write $K(R) = K(\\text{Mod}_R)$ and\n$D(R) = D(\\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions.\nFor any open $U \\subset X$ we have a left exact functor\n$\n\\Gamma(U, -) :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\text{Mod}_{\\mathcal{O}_X(U)}\n$\nwhich gives rise to\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-cohomology}\nR\\Gamma(U, -) :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(\\mathcal{O}_X(U))\n\\end{equation}\nby the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\\Gamma(U, -)$.\nIf $U = X$ we recover (\\ref{equation-cohomology-modules}).\nIf $f : X \\to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have\nthe left exact functor\n$\nf_* :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_Y)\n$\nwhich gives rise to the {\\it derived pushforward}\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-direct-image}\nRf_* :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(Y)\n\\end{equation}\nThe $i$th cohomology sheaf of $Rf_*\\mathcal{F}^\\bullet$ is denoted\n$R^if_*\\mathcal{F}^\\bullet$ and called the $i$th {\\it higher direct image}\nin accordance with (\\ref{equation-higher-direct-image-modules}).\nThe two displayed functors above are exact functors\nof derived categories.\n\n\\medskip\\noindent\n{\\bf Abuse of notation:} When the functor $Rf_*$, or any other\nderived functor, is applied to a sheaf $\\mathcal{F}$ on $X$ or a complex\nof sheaves it is understood that $\\mathcal{F}$ has been replaced by a\nsuitable resolution of $\\mathcal{F}$. To facilitate this kind of\noperation we will say, given an object\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\in D(\\mathcal{O}_X)$,\nthat a bounded below complex $\\mathcal{I}^\\bullet$ of injectives of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$\n{\\it represents $\\mathcal{F}^\\bullet$ in the derived category}\nif there exists a quasi-isomorphism\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. In the same vein the phrase\n``let $\\alpha : \\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{G}^\\bullet$ be\na morphism of $D(\\mathcal{O}_X)$''\ndoes not mean that $\\alpha$ is represented by a\nmorphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will\nsay so."
    }
  ]
}

tag/0FKS

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of $\mathcal{O}_X$ -modules $\mathcal{F}$ there is a resolution
$0 \to \mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots$
functorial in $\mathcal{F}$ such that each term $f_*f^* \ldots f_*f^*\mathcal{F}$ is a flasque $\mathcal{O}_X$ -module and such that for all $x \in X$ the map
$\mathcal{F}_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to \ldots \Big)$
is a homotopy equivalence in the category of complexes of $\mathcal{O}_{X, x}$ -modules.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:787503a0ec46db68e4e11e9bf5fa2fabae3304c806bc7e2f5be69ab1af6cc11f",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0FKS",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:8b044713268f8366ca6cc0212d88985ff0517eb2417f464d218f454e93c283fe",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-godement-resolution}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of\n$\\mathcal{O}_X$-modules $\\mathcal{F}$ there is a resolution\n$$\n0 \\to\n\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to \\ldots\n$$\nfunctorial in $\\mathcal{F}$ such that each term\n$f_*f^* \\ldots f_*f^*\\mathcal{F}$ is a flasque\n$\\mathcal{O}_X$-module and such that for all $x \\in X$ the\nmap\n$$\n\\mathcal{F}_x[0] \\to \\Big(\n(f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to \\ldots\n\\Big)\n$$\nis a homotopy equivalence in the category of complexes\nof $\\mathcal{O}_{X, x}$-modules.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0109

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/010N

Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ be abelian categories. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a functor.
If $F$ is either left or right exact, then it is additive.
$F$ is left exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ is exact.
$F$ is right exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.
$F$ is exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:64c741ef9deb2269f16508f201759a9d9bd1691e833d5213c0a244b78a7ce59a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/010N",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e66f034eeeacfcb7b11738065188279ef03410097d4c35d3837c698b10ba0cab",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-exact-functor}\nLet $\\mathcal{A}$ and $\\mathcal{B}$ be abelian categories.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item If $F$ is either left or right exact, then it is additive.\n\\item $F$ is left exact if and only if\nfor every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C)$\nis exact.\n\\item $F$ is right exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\item $F$ is exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/013K

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Assume $\mathcal{A}$ has enough injectives.
Any object of $\mathcal{A}$ has an injective resolution.
If $H^n(K^\bullet) = 0$ for all $n \ll 0$ then $K^\bullet$ has an injective resolution.
If $K^\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$ , then there exists an injective resolution $\alpha : K^\bullet \to I^\bullet$ with $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\alpha^n : K^n \to I^n$ is injective.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:9698ad04b03a0ca888a87e8f88e9925a856764046ae30cfb569730f33de5c92d",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/013K",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:869cffaf0235a6f9d2d38c26d042d9ff1c0bbfae733cd1cdcc72af28b5bc8fa4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-resolutions-exist}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nAssume $\\mathcal{A}$ has enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item Any object of $\\mathcal{A}$ has an injective resolution.\n\\item If $H^n(K^\\bullet) = 0$ for all $n \\ll 0$ then\n$K^\\bullet$ has an injective resolution.\n\\item If $K^\\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$, then\nthere exists an injective resolution $\\alpha : K^\\bullet \\to I^\\bullet$\nwith $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\\alpha^n : K^n \\to I^n$ is\ninjective.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/015B

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a left exact functor.
For any short exact sequence $0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0$ of complexes in $\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})$ there is an associated long exact sequence
$\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots$
The functors $R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ are zero for $i < 0$ . Also $R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ .
We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.
The sequence $(R^iF, \delta)$ forms a universal $\delta$ -functor (see Homology, Definition ) from $\mathcal{A}$ to $\mathcal{B}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:4afa5f4b9810c92dab35571346daba32fe103025b5c3cd8088dbd7e54ecd20fe",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015B",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:dfebd11201136d7893be34773ff7fda188a8b1936ac0ddeff5a25c3f02c5f5a0",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-higher-derived-functors}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a left exact functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any short exact sequence\n$0 \\to A^\\bullet \\to B^\\bullet \\to C^\\bullet \\to 0$\nof complexes in $\\text{Comp}^{+}(\\mathcal{A})$ there\nis an associated long exact sequence\n$$\n\\ldots \\to\nH^i(RF(A^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(B^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(C^\\bullet)) \\to\nH^{i + 1}(RF(A^\\bullet)) \\to \\ldots\n$$\n\\item The functors $R^iF : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$\nare zero for $i < 0$. Also $R^0F = F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$.\n\\item We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.\n\\item The sequence $(R^iF, \\delta)$ forms a universal $\\delta$-functor (see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor})\nfrom $\\mathcal{A}$ to $\\mathcal{B}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05SV

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

Пакеты в снимке

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

sheaf_cohomology: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: cohomology_universal_delta_functor(urn:case:stacks:sh:x); abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx); has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:f); has_injective_resolution(urn:case:stacks:sh:f); sheaf_cohomology(urn:case:stacks:sh:x, 0, urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:h0) …и ещё 20 выведенных фактов вне предмета вопроса (полный вывод — law_explain) Применены правила: LeftExactBySES, LeftExactIsAdditive, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, DerivedUniversalDeltaFunctor, InjectiveResolutionsExist, NegativeDerivedVanish, R0AgreesIfLeftExact, RFEverywhereDefined, AbAdditive, AbCoimageImage, AbCokernels, AbKernels, AbXAdditive, AbXCoimageImage, AbXCokernels, AbXEnoughInjectives, AbXKernels, AbelianSheafByDefinition, AbelianSheafIsObjectOfAbX, CohomologyUniversalDeltaFunctor, GlobalSectionsBetween, GlobalSectionsLeftExact, GodementResolutionExists, H0IsGlobalSections, SheafByGluing, abelian_presheaf_on/sufficient Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on $X$» — оно отменило бы вывод, будь установлено: not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x) (поражающее правило не сработало из-за неустановленных фактов — подайте их в facts, если они есть в деле) Право (вне юрисдикции государства): Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — доктрина (programHash sha256:037863663edc…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 41 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 26,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006E",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DZ",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "package": "stacks-sheaf-cohomology",
      "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_010N"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:641768e375cd8c19e13427d6faf18341b5b8c48cad5ddfe40f742eff4f1279fb",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:037863663edcbb19699db703e2b64c892fac09e4362d28c4147d70de0b0fb692",
  "resultHash": "sha256:8335998a5c3c0448bc102cbb5f729dd483db9fa0bb94e4279cea2385ade42067",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:77517a1cb5de03a401c900ab80ad61a47a5b28fff69456e978b42f0a27aafb4d

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:x",
    0,
    "urn:case:stacks:sh:f",
    "urn:case:stacks:sh:h0"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x",
        "urn:case:stacks:sh:h0"
      ],
      "predicate": "global_sections"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "sheaf_cohomology",
  "proof": true
}

Функтор глобальных сечений точен слева, поэтому нулевая степень его производного равна ему самому.

Проверка условия

Старшие когомологии вялого пучка нулевые

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

$H^i(X, F) = 0$ при всех $i > 0$

Исходные факты

категория есть $Ab(X)$ — категория пучков абелевых групп на $X$
c: abxx: x
категория есть $Ab$ — категория абелевых групп
ab: ab
функтор есть $Γ(X, −): Ab(X) → Ab, F ↦ Γ(X, F) = F(X)$
g: gammax: x
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: fx: x
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: f
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: f
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: f
09SW: для всяких открытых $U ⊂ V$ в $X$ отображение ограничения $F(V) → F(U)$ сюръективно
f: f

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:x",
    "urn:case:stacks:sh:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "restrictions_surjective"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "cohomology_vanishes_positive",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода32 шагов

1
категория есть $Ab(X)$ — категория пучков абелевых групп на $X$
c: urn:case:stacks:sh:abx; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
2
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive
правило
3
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всякого морфизма
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage
правило
4
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все коядра существуют
в категории существуют все коядра: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels
правило
5
01DG: в категории абелевых пучков на топологическом пространстве $X$ достаточно инъективных
в категории достаточно инъективных: у всякого объекта $A$ есть инъективный морфизм $A → J$ в инъективный объект $J$ : c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01DG
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives
правило
6
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все ядра существуют
в категории существуют все ядра: c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels
правило
7
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:sh:abx
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
8
категория есть $Ab$ — категория абелевых групп
ab: urn:case:stacks:sh:ab
факт дела
9
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности аддитивна
0104: категория аддитивна: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive
правило
10
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм
естественное отображение $Coim(f) → Im(f)$ есть изоморфизм для всех морфизмов $f$ категории: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage
правило
11
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все коядра существуют
в категории существуют все коядра: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels
правило
12
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все ядра существуют
в категории существуют все ядра: c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 01AG, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels
правило
13
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
c: urn:case:stacks:sh:ab
тег 0109
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient
правило
14
функтор есть $Γ(X, −): Ab(X) → Ab, F ↦ Γ(X, F) = F(X)$
g: urn:case:stacks:sh:gamma; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
15
0716: $Γ(X, −)$ — функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
функтор действует из первой категории во вторую: $F : A → B$ : f: urn:case:stacks:sh:gamma; a: urn:case:stacks:sh:abx; b: urn:case:stacks:sh:ab
тег 0716
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween
правило
16
0716: $Γ(X, −)$ — точный слева функтор
для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 0716
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact
правило
17
010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
0034 (1): функтор точен слева: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
правило
18
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
функтор аддитивен: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 010N
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
правило
19
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
05SV: правый производный функтор $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду: f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 05TI, тег 05SV, тег 05T4
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined
правило
20
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
21
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
22
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006K
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient
правило
23
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
24
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
25
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
$F$ — пучок множеств на $X$ : f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
правило
26
0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок: f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 0070
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
правило
27
09SW: для всяких открытых $U ⊂ V$ в $X$ отображение ограничения $F(V) → F(U)$ сюръективно
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
28
09SW: предпучок вялый, если все ограничения $F(V) → F(U)$ , $U ⊂ V$ открытые, сюръективны
09SW: пучок вялый (flasque): f: urn:case:stacks:sh:f
тег 09SW
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#FlasqueByRestrictions
правило
29
09SY с 01AD: вялый абелев пучок правый ацикличный для $Γ(X, −)$
0157 (3): объект $A$ правый ацикличный для $F$ : $A[0]$ вычисляет $RF$ : a: urn:case:stacks:sh:f; f: urn:case:stacks:sh:gamma
тег 09SY, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#FlasqueIsAcyclic
правило
30
015C (2): если $F$ точен слева, $RF$ определён всюду и $A$ правый ацикличный для $F$ , то $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
015C: $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$ : f: urn:case:stacks:sh:gamma; a: urn:case:stacks:sh:f
тег 015C
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#HigherDerivedVanishForAcyclic
правило
31
09SY с 015C (2): если $F$ правый ацикличный для точного слева $Γ(X, −)$ , то $H^i(X, F) = R^iΓ(X, −)(F) = 0$ при $i > 0$
$H^i(X, F) = 0$ при всех $i > 0$ : x: urn:case:stacks:sh:x; f: urn:case:stacks:sh:f
тег 09SY, тег 01DZ
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#CohomologyVanishesForAcyclic
правило
32
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 24 · факт дела: 8 · Полный граф: 44 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

015C (2): если $F$ точен слева, $RF$ определён всюду и $A$ правый ацикличный для $F$ , то $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#HigherDerivedVanishForAcyclic
05TI (2): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ — аддитивный функтор в абелеву категорию, то $RF : D⁺(A) → D⁺(B)$ определён всюду
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#RFEverywhereDefined

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всякого морфизма
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels
01DG: в категории абелевых пучков на топологическом пространстве $X$ достаточно инъективных
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels
0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
09SY с 015C (2): если $F$ правый ацикличный для точного слева $Γ(X, −)$ , то $H^i(X, F) = R^iΓ(X, −)(F) = 0$ при $i > 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#CohomologyVanishesForAcyclic
09SW: предпучок вялый, если все ограничения $F(V) → F(U)$ , $U ⊂ V$ открытые, сюръективны
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#FlasqueByRestrictions
09SY с 01AD: вялый абелев пучок правый ацикличный для $Γ(X, −)$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#FlasqueIsAcyclic
0716: $Γ(X, −)$ — функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween
0716: $Γ(X, −)$ — точный слева функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient

Другие правила расчёта8

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

05TE (1): если $RF$ определён всюду, $R^iF$ снабжены канонической структурой $δ$ -функтора
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedFormDeltaFunctor
015B (4): если $A$ абелева с достаточным запасом инъективных и $F : A → B$ точен слева, то $(R^iF, δ)$ — универсальный $δ$ -функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#DerivedUniversalDeltaFunctor
013K (1): в абелевой категории с достаточным запасом инъективных у всякого объекта есть инъективная резольвента
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#InjectiveResolutionsExist
05TD (1): если $RF$ определён всюду, то $R^iF = 0$ при $i < 0$
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#NegativeDerivedVanish
05TD (3): если $RF$ определён всюду и $F$ точен слева, то $F → R^0F$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:derived-functors#R0AgreesIfLeftExact

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

0070 (2): абелев пучок на $X$ — объект категории $Ab(X)$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX
01DZ: функторы $H^i(X, −)$ образуют универсальный $δ$ -функтор $Ab(X) → Ab$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#CohomologyUniversalDeltaFunctor
0FKS с 01AD: у всякого абелева пучка $F$ на $X$ есть резольвента Годемана $0 → F → f_*f^*F → …$ вялыми пучками
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists

Вывод по запросу

$H^i(X, F) = 0$ при всех $i > 0$
x: xf: f

Другие выводы10

01DZ: семейство $H^i(X, −)$ образует универсальный $δ$ -функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
x: x
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: fx: x
$F$ — пучок множеств на $X$
f: fx: x
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f: fx: x
объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x: fc: abx
0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f: f
у объекта есть инъективная резольвента
a: f
09SW: пучок вялый (flasque)
f: f
0157 (3): объект $A$ правый ацикличный для $F$ : $A[0]$ вычисляет $RF$
a: ff: gamma
015C: $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
f: gammaa: f

01DZ: семейство $H^i(X, −)$ образует универсальный $δ$ -функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
x
x

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f	x
urn:case:stacks:sh:f	x

$F$ — пучок множеств на $X$
f	x
urn:case:stacks:sh:f	x

0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f	x
urn:case:stacks:sh:f	x

объект принадлежит категории: $x ∈ Ob(C)$
x	c
f	urn:case:stacks:sh:abx

0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f
urn:case:stacks:sh:f

у объекта есть инъективная резольвента
a
urn:case:stacks:sh:f

09SW: пучок вялый (flasque)
f
urn:case:stacks:sh:f

0157 (3): объект $A$ правый ацикличный для $F$ : $A[0]$ вычисляет $RF$
a	f
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:gamma

015C: $R^iF(A) = 0$ при всех $i > 0$
f	a
urn:case:stacks:sh:gamma	urn:case:stacks:sh:f

$H^i(X, F) = 0$ при всех $i > 0$
x	f
x	urn:case:stacks:sh:f

Что способно поразить вывод1 правил

1
006T: предпучок, опровергнутый открытым покрытием, — не пучок множеств на $X$
Чего не хватает
- $F$ — не пучок на $X$ : условие 006T провалено на некотором открытом покрытииf, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering
правило

Граф доказательств

Граф доказательства · 7 слой

Узлы доказательств: 44 · assertion 8, rule_application 31, constraint_check 4, query_evaluation 1

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

ИсточникиФрагментов: 21

tag/006K

Let $X$ be a topological space.
A presheaf of abelian groups on $X$ or an abelian presheaf over $X$ is a presheaf of sets $\mathcal{F}$ such that for each open $U \subset X$ the set $\mathcal{F}(U)$ is endowed with the structure of an abelian group, and such that all restriction maps $\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see Lemma above.
A morphism of abelian presheaves over $X$ $\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ is a morphism of presheaves of sets which induces a homomorphism of abelian groups $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ for every open $U \subset X$ .
The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted $\textit{PAb}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:fa7c3dec36920848465ed2902237f8efade0877767eebcee37676bb1bb8717d9",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006K",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:b8388b54fb29de485ebd7c91f38c607f6005d41b4d427265a75b163118fd70d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-presheaves}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it presheaf of abelian groups on $X$} or an\n{\\it abelian presheaf over $X$}\nis a presheaf of sets $\\mathcal{F}$ such that for each open\n$U \\subset X$ the set $\\mathcal{F}(U)$ is endowed with\nthe structure of an abelian group, and such that all restriction\nmaps $\\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see\nLemma \\ref{lemma-abelian-presheaves} above.\n\\item A {\\it morphism of abelian presheaves over $X$}\n$\\varphi : \\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$ is a morphism of presheaves\nof sets which induces\na homomorphism of abelian groups $\\mathcal{F}(U) \\to \\mathcal{G}(U)$\nfor every open $U \\subset X$.\n\\item The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted\n$\\textit{PAb}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/006T

Let $X$ be a topological space.
A sheaf $\mathcal{F}$ of sets on $X$ is a presheaf of sets which satisfies the following additional property: Given any open covering $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ and any collection of sections $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ , $i \in I$ such that $\forall i, j\in I$
$s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$
there exists a unique section $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s_i = s|_{U_i}$ for all $i \in I$ .
A morphism of sheaves of sets is simply a morphism of presheaves of sets.
The category of sheaves of sets on $X$ is denoted $\Sh(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:8504f30501fb40b30a60685a51aad76a416258206ec9a839891f7bf83cd38323",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006T",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:041460b360dfa6a9d137bed749118fd98c2764c6ac5b9058dcb5aa7167313f76",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it sheaf $\\mathcal{F}$ of sets on $X$} is a presheaf\nof sets which satisfies the following additional property: Given\nany open covering $U = \\bigcup_{i \\in I} U_i$ and any collection\nof sections $s_i \\in \\mathcal{F}(U_i)$, $i \\in I$ such that\n$\\forall i, j\\in I$\n$$\ns_i|_{U_i \\cap U_j} = s_j|_{U_i \\cap U_j}\n$$\nthere exists a unique section $s \\in \\mathcal{F}(U)$ such that\n$s_i = s|_{U_i}$ for all $i \\in I$.\n\\item A {\\it morphism of sheaves of sets} is simply a\nmorphism of presheaves of sets.\n\\item The category of sheaves of sets on $X$ is denoted\n$\\Sh(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/0070

Let $X$ be a topological space.
An abelian sheaf on $X$ or sheaf of abelian groups on $X$ is an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of sets is a sheaf.
The category of sheaves of abelian groups is denoted $\textit{Ab}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:04f51a87121abeee45cd4e99f1379db299b359b4ac801017c7770a7f05d2c370",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0070",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3260f7d5e9cbfe266160539b8375cd23ac2429762aaa12eb860ad707dc28a6cd",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item An {\\it abelian sheaf on $X$} or\n{\\it sheaf of abelian groups on $X$}\nis an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of\nsets is a sheaf.\n\\item The category of sheaves of abelian groups\nis denoted $\\textit{Ab}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/01AD

Introduction
In this chapter we work out basic notions of sheaves of modules. This in particular includes the case of abelian sheaves, since these may be viewed as sheaves of $\underline{\mathbf{Z}}$ -modules. Basic references are , and . We work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi in another chapter (see Modules on Sites, Section ), although there we will mostly just duplicate the discussion from this chapter.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d0262bf7656850a1933eef167a360437aa2bb6436e57461a3d23de09e8cc8ef3",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AD",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3237316f9dec6bd87194ad43833111dbdf86cade5633082fbc0e7d50b3e2e7cf",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Introduction}\n\\label{section-introduction}\n\n\\noindent\nIn this chapter we work out basic notions of sheaves of modules.\nThis in particular includes the case of abelian sheaves, since\nthese may be viewed as sheaves of $\\underline{\\mathbf{Z}}$-modules.\nBasic references are \\cite{FAC}, \\cite{EGA} and \\cite{SGA4}.\n\n\\medskip\\noindent\nWe work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi\nin another chapter (see\nModules on Sites, Section \\ref{sites-modules-section-introduction}),\nalthough there we will mostly just duplicate the discussion\nfrom this chapter."
    }
  ]
}

tag/01AG

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover a complex
$\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}$
is exact at $\mathcal{G}$ if and only if for all $x \in X$ the complex
$\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x$
is exact at $\mathcal{G}_x$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:1bf6bd6db42698470b675022b39392436590d133c6e4e0e6f342e63ce50e5290",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:d40ca7777a52e10948b9c7e8da68432632fc0b8f4bb33c427370acaf48a4b19f",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover\na complex\n$$\n\\mathcal{F} \\to \\mathcal{G} \\to \\mathcal{H}\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}$ if and only if for all $x \\in X$ the\ncomplex\n$$\n\\mathcal{F}_x \\to \\mathcal{G}_x \\to \\mathcal{H}_x\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}_x$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/01DG

Let $X$ be a topological space. The category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives. In fact it has functorial injective embeddings.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:48de83780b89577a36cf370ecf47370fa86fe2d17276908d3fb411375d5e1ec7",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_INJECTIVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01DG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e4b4f09acb0a39efab590f7a0a1974dde000a27f6205d5284eb9b41b91b7f6d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian-sheaves-space}\nLet $X$ be a topological space.\nThe category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives.\nIn fact it has functorial injective embeddings.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/01DZ

Cohomology of sheaves
Let $X$ be a topological space. Let $\mathcal{F}$ be an abelian sheaf. We know that the category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives, see Injectives, Lemma . Hence we can choose an injective resolution $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ . As is customary we define H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) to be the $i$ th cohomology group of the abelian sheaf $\mathcal{F}$ . The family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}$ . Let $f : X \to Y$ be a continuous map of topological spaces. With $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ as above we define R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) to be the $i$ th higher direct image of $\mathcal{F}$ . The family of functors $R^if_*$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(Y)$ . Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Let $\mathcal{F}$ be an $\mathcal{O}_X$ -module. We know that the category of $\mathcal{O}_X$ -modules on $X$ has enough injectives, see Injectives, Lemma . Hence we can choose an injective resolution $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ . As is customary we define H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(\Gamma(X, \mathcal{I}^\bullet)) to be the $i$ th cohomology group of $\mathcal{F}$ . The family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(X)}$ . Let $f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ be a morphism of ringed spaces. With $\mathcal{F}[0] \to \mathcal{I}^\bullet$ as above we define R^if_*\mathcal{F} = H^i(f_*\mathcal{I}^\bullet) to be the $i$ th higher direct image of $\mathcal{F}$ . The family of functors $R^if_*$ forms a universal $\delta$ -functor from $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:b1dd6e78bfe8178dd35b60b16af0e740bb77f76f64096d01aaa44a811d4491b3",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DZ",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01DZ",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:992dfb482cc74c054eb720fd53a56dd386827983f1cb4214bf3e7230a56ea9d3",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Cohomology of sheaves}\n\\label{section-cohomology-sheaves}\n\n\\noindent\nLet $X$ be a topological space. Let $\\mathcal{F}$ be an abelian sheaf.\nWe know that the category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives, see\nInjectives, Lemma \\ref{injectives-lemma-abelian-sheaves-space}.\nHence we can choose an injective resolution\n$\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. As is customary we define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-cohomology}\nH^i(X, \\mathcal{F}) = H^i(\\Gamma(X, \\mathcal{I}^\\bullet))\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th cohomology group of the abelian sheaf $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Ab}(X) \\to \\textit{Ab}$.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $f : X \\to Y$ be a continuous map of topological spaces. With\n$\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$ as above\nwe define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-higher-direct-image}\nR^if_*\\mathcal{F} = H^i(f_*\\mathcal{I}^\\bullet)\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th higher direct image of $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $R^if_*$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Ab}(X) \\to \\textit{Ab}(Y)$.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Let $\\mathcal{F}$ be an\n$\\mathcal{O}_X$-module. We know that the category of $\\mathcal{O}_X$-modules\non $X$ has enough injectives, see\nInjectives, Lemma \\ref{injectives-lemma-sheaves-modules-space}.\nHence we can choose an injective resolution\n$\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. As is customary we define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-cohomology-modules}\nH^i(X, \\mathcal{F}) = H^i(\\Gamma(X, \\mathcal{I}^\\bullet))\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th cohomology group of $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $H^i(X, -)$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\text{Mod}_{\\mathcal{O}_X(X)}$.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $f : (X, \\mathcal{O}_X) \\to (Y, \\mathcal{O}_Y)$ be a morphism of ringed\nspaces. With $\\mathcal{F}[0] \\to \\mathcal{I}^\\bullet$ as above\nwe define\n\\begin{equation}\n\\label{equation-higher-direct-image-modules}\nR^if_*\\mathcal{F} = H^i(f_*\\mathcal{I}^\\bullet)\n\\end{equation}\nto be the {\\it $i$th higher direct image of $\\mathcal{F}$}.\nThe family of functors $R^if_*$ forms a universal $\\delta$-functor\nfrom $\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_Y)$."
    }
  ]
}

tag/0716

Derived functors
We briefly explain how to get right derived functors using resolution functors. For the unbounded derived functors, please see Section . Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is abelian, see Modules, Lemma . In this chapter we will write
$K(\mathcal{O}_X) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \quad \text{and} \quad D(\mathcal{O}_X) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)).$
and similarly for the bounded versions for the triangulated categories introduced in Derived Categories, Definition and Definition . By Derived Categories, Remark there exists a resolution functor
$j = j_X : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})$
where $\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves. For any left exact functor $F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{B}$ into any abelian category $\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the right derived functor described in Derived Categories, Section and constructed using the resolution functor $j_X$ just described: RF = F \circ j_X' : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) see Derived Categories, Lemma for notation. Note that we may think of $RF$ as defined on $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ , $\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))$ , $K^{+}(X)$ , or $D^{+}(X)$ depending on the situation. According to Derived Categories, Definition we obtain the $i$ th right derived functor R^iF = H^i \circ RF : Mod (\mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{B} so that $R^0F = F$ and $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is universal $\delta$ -functor, see Derived Categories, Lemma . Here are two special cases of this construction. Given a ring $R$ we write $K(R) = K(\text{Mod}_R)$ and $D(R) = D(\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions. For any open $U \subset X$ we have a left exact functor $\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}$ which gives rise to R\Gamma(U, -) : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) by the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)$ . If $U = X$ we recover (). If $f : X \to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have the left exact functor $f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)$ which gives rise to the derived pushforward Rf_* : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(Y) The $i$ th cohomology sheaf of $Rf_*\mathcal{F}^\bullet$ is denoted $R^if_*\mathcal{F}^\bullet$ and called the $i$ th higher direct image in accordance with (). The two displayed functors above are exact functors of derived categories. Abuse of notation: When the functor $Rf_*$ , or any other derived functor, is applied to a sheaf $\mathcal{F}$ on $X$ or a complex of sheaves it is understood that $\mathcal{F}$ has been replaced by a suitable resolution of $\mathcal{F}$ . To facilitate this kind of operation we will say, given an object $\mathcal{F}^\bullet \in D(\mathcal{O}_X)$ , that a bounded below complex $\mathcal{I}^\bullet$ of injectives of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ represents $\mathcal{F}^\bullet$ in the derived category if there exists a quasi-isomorphism $\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet$ . In the same vein the phrase ``let $\alpha : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet$ be a morphism of $D(\mathcal{O}_X)$ '' does not mean that $\alpha$ is represented by a morphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will say so.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:0eee6ff9b997a29e65a9204cd10ad0d6c3337360eac630526713e3e18f1c9b03",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0716",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f61344b89b5447a2349b548070137ca4e6f491c90033bf637527fbd9f371c876",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Derived functors}\n\\label{section-derived-functors}\n\n\\noindent\nWe briefly explain how to get right derived functors using resolution\nfunctors. For the unbounded derived functors, please see\nSection \\ref{section-unbounded}.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is abelian, see\nModules, Lemma \\ref{modules-lemma-abelian}.\nIn this chapter we will write\n$$\nK(\\mathcal{O}_X) = K(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\quad\n\\text{and}\n\\quad\nD(\\mathcal{O}_X) = D(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)).\n$$\nand similarly for the bounded versions for the triangulated categories\nintroduced in\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-complexes-notation} and\nDefinition \\ref{derived-definition-unbounded-derived-category}.\nBy\nDerived Categories, Remark \\ref{derived-remark-big-abelian-category}\nthere exists a resolution functor\n$$\nj = j_X :\nK^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\longrightarrow\nK^{+}(\\mathcal{I})\n$$\nwhere $\\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves.\nFor any left exact functor\n$F : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\mathcal{B}$\ninto any abelian category $\\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the\nright derived functor described in\nDerived Categories, Section \\ref{derived-section-right-derived-functor}\nand constructed using the resolution functor $j_X$ just described:\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RF}\nRF = F \\circ j_X' : D^{+}(X) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n\\end{equation}\nsee\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-right-derived-functor}\nfor notation. Note that we may think of $RF$ as defined on\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$,\n$\\text{Comp}^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))$,\n$K^{+}(X)$, or $D^{+}(X)$\ndepending on the situation. According to\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-higher-derived-functors}\nwe obtain the $i$th right derived functor\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RFi}\nR^iF = H^i \\circ RF : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\longrightarrow \\mathcal{B}\n\\end{equation}\nso that $R^0F = F$ and $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is universal\n$\\delta$-functor, see\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-higher-derived-functors}.\n\n\\medskip\\noindent\nHere are two special cases of this construction.\nGiven a ring $R$ we write $K(R) = K(\\text{Mod}_R)$ and\n$D(R) = D(\\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions.\nFor any open $U \\subset X$ we have a left exact functor\n$\n\\Gamma(U, -) :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\text{Mod}_{\\mathcal{O}_X(U)}\n$\nwhich gives rise to\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-cohomology}\nR\\Gamma(U, -) :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(\\mathcal{O}_X(U))\n\\end{equation}\nby the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\\Gamma(U, -)$.\nIf $U = X$ we recover (\\ref{equation-cohomology-modules}).\nIf $f : X \\to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have\nthe left exact functor\n$\nf_* :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_Y)\n$\nwhich gives rise to the {\\it derived pushforward}\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-direct-image}\nRf_* :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(Y)\n\\end{equation}\nThe $i$th cohomology sheaf of $Rf_*\\mathcal{F}^\\bullet$ is denoted\n$R^if_*\\mathcal{F}^\\bullet$ and called the $i$th {\\it higher direct image}\nin accordance with (\\ref{equation-higher-direct-image-modules}).\nThe two displayed functors above are exact functors\nof derived categories.\n\n\\medskip\\noindent\n{\\bf Abuse of notation:} When the functor $Rf_*$, or any other\nderived functor, is applied to a sheaf $\\mathcal{F}$ on $X$ or a complex\nof sheaves it is understood that $\\mathcal{F}$ has been replaced by a\nsuitable resolution of $\\mathcal{F}$. To facilitate this kind of\noperation we will say, given an object\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\in D(\\mathcal{O}_X)$,\nthat a bounded below complex $\\mathcal{I}^\\bullet$ of injectives of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$\n{\\it represents $\\mathcal{F}^\\bullet$ in the derived category}\nif there exists a quasi-isomorphism\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. In the same vein the phrase\n``let $\\alpha : \\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{G}^\\bullet$ be\na morphism of $D(\\mathcal{O}_X)$''\ndoes not mean that $\\alpha$ is represented by a\nmorphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will\nsay so."
    }
  ]
}

tag/09SW

Let $X$ be a topological space. We say a presheaf of sets $\mathcal{F}$ is flasque or flabby if for every $U \subset V$ open in $X$ the restriction map $\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(U)$ is surjective.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:fe2dbc1108dafb7562aec854fa649c8fc23820c9279877f4cb4d498b8601d0e7",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SW",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/09SW",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:730a7c4f799967f2799cc62798491a402948504907086636e81743211b35b8b0",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-flasque}\nLet $X$ be a topological space. We say a presheaf of sets\n$\\mathcal{F}$ is {\\it flasque} or {\\it flabby} if for every\n$U \\subset V$ open in $X$ the restriction map\n$\\mathcal{F}(V) \\to \\mathcal{F}(U)$ is surjective.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/09SY

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Any flasque $\mathcal{O}_X$ -module is acyclic for $R\Gamma(X, -)$ as well as $R\Gamma(U, -)$ for any open $U$ of $X$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7662615771c020c4afb51a8478766a67d4a3bdf502078614c0096d548d27dc05",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/09SY",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:707ef368c24b80d3d736e07759dff795af4faae92c0ece2f17999e27898ff0d2",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-flasque-acyclic}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Any flasque $\\mathcal{O}_X$-module\nis acyclic for $R\\Gamma(X, -)$ as well as $R\\Gamma(U, -)$ for any\nopen $U$ of $X$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0FKS

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of $\mathcal{O}_X$ -modules $\mathcal{F}$ there is a resolution
$0 \to \mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots$
functorial in $\mathcal{F}$ such that each term $f_*f^* \ldots f_*f^*\mathcal{F}$ is a flasque $\mathcal{O}_X$ -module and such that for all $x \in X$ the map
$\mathcal{F}_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to \ldots \Big)$
is a homotopy equivalence in the category of complexes of $\mathcal{O}_{X, x}$ -modules.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:787503a0ec46db68e4e11e9bf5fa2fabae3304c806bc7e2f5be69ab1af6cc11f",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0FKS",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:8b044713268f8366ca6cc0212d88985ff0517eb2417f464d218f454e93c283fe",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-godement-resolution}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of\n$\\mathcal{O}_X$-modules $\\mathcal{F}$ there is a resolution\n$$\n0 \\to\n\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to \\ldots\n$$\nfunctorial in $\\mathcal{F}$ such that each term\n$f_*f^* \\ldots f_*f^*\\mathcal{F}$ is a flasque\n$\\mathcal{O}_X$-module and such that for all $x \\in X$ the\nmap\n$$\n\\mathcal{F}_x[0] \\to \\Big(\n(f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to \\ldots\n\\Big)\n$$\nis a homotopy equivalence in the category of complexes\nof $\\mathcal{O}_{X, x}$-modules.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/010N

Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ be abelian categories. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a functor.
If $F$ is either left or right exact, then it is additive.
$F$ is left exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ is exact.
$F$ is right exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.
$F$ is exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:64c741ef9deb2269f16508f201759a9d9bd1691e833d5213c0a244b78a7ce59a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/010N",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e66f034eeeacfcb7b11738065188279ef03410097d4c35d3837c698b10ba0cab",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-exact-functor}\nLet $\\mathcal{A}$ and $\\mathcal{B}$ be abelian categories.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item If $F$ is either left or right exact, then it is additive.\n\\item $F$ is left exact if and only if\nfor every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C)$\nis exact.\n\\item $F$ is right exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\item $F$ is exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/013K

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. Assume $\mathcal{A}$ has enough injectives.
Any object of $\mathcal{A}$ has an injective resolution.
If $H^n(K^\bullet) = 0$ for all $n \ll 0$ then $K^\bullet$ has an injective resolution.
If $K^\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$ , then there exists an injective resolution $\alpha : K^\bullet \to I^\bullet$ with $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\alpha^n : K^n \to I^n$ is injective.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:9698ad04b03a0ca888a87e8f88e9925a856764046ae30cfb569730f33de5c92d",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/013K",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:869cffaf0235a6f9d2d38c26d042d9ff1c0bbfae733cd1cdcc72af28b5bc8fa4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-resolutions-exist}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nAssume $\\mathcal{A}$ has enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item Any object of $\\mathcal{A}$ has an injective resolution.\n\\item If $H^n(K^\\bullet) = 0$ for all $n \\ll 0$ then\n$K^\\bullet$ has an injective resolution.\n\\item If $K^\\bullet$ is a complex with $K^n = 0$ for $n < a$, then\nthere exists an injective resolution $\\alpha : K^\\bullet \\to I^\\bullet$\nwith $I^n = 0$ for $n < a$ such that each $\\alpha^n : K^n \\to I^n$ is\ninjective.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/015B

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a left exact functor.
For any short exact sequence $0 \to A^\bullet \to B^\bullet \to C^\bullet \to 0$ of complexes in $\text{Comp}^{+}(\mathcal{A})$ there is an associated long exact sequence
$\ldots \to H^i(RF(A^\bullet)) \to H^i(RF(B^\bullet)) \to H^i(RF(C^\bullet)) \to H^{i + 1}(RF(A^\bullet)) \to \ldots$
The functors $R^iF : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ are zero for $i < 0$ . Also $R^0F = F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ .
We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.
The sequence $(R^iF, \delta)$ forms a universal $\delta$ -functor (see Homology, Definition ) from $\mathcal{A}$ to $\mathcal{B}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:4afa5f4b9810c92dab35571346daba32fe103025b5c3cd8088dbd7e54ecd20fe",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015B",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:dfebd11201136d7893be34773ff7fda188a8b1936ac0ddeff5a25c3f02c5f5a0",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-higher-derived-functors}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a left exact functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any short exact sequence\n$0 \\to A^\\bullet \\to B^\\bullet \\to C^\\bullet \\to 0$\nof complexes in $\\text{Comp}^{+}(\\mathcal{A})$ there\nis an associated long exact sequence\n$$\n\\ldots \\to\nH^i(RF(A^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(B^\\bullet)) \\to\nH^i(RF(C^\\bullet)) \\to\nH^{i + 1}(RF(A^\\bullet)) \\to \\ldots\n$$\n\\item The functors $R^iF : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$\nare zero for $i < 0$. Also $R^0F = F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$.\n\\item We have $R^iF(I) = 0$ for $i > 0$ and $I$ injective.\n\\item The sequence $(R^iF, \\delta)$ forms a universal $\\delta$-functor (see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor})\nfrom $\\mathcal{A}$ to $\\mathcal{B}$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/015C

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined. Let $A$ be an object of $\mathcal{A}$ .
$A$ is right acyclic for $F$ if and only if $F(A) \to R^0F(A)$ is an isomorphism and $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$ ,
if $F$ is left exact, then $A$ is right acyclic for $F$ if and only if $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:e250263a8b2f3813392cdbde3901795ceda78f89b9865dfdc2a7794d781e519a",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015C",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/015C",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:d0947fabef80aaa804f6f4635edca13dba8e17d1cdf28aacd25709217ffafa46",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-F-acyclic}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined. Let $A$ be an object of $\\mathcal{A}$.\n\\begin{enumerate}\n\\item $A$ is right acyclic for $F$ if and only if\n$F(A) \\to R^0F(A)$ is an isomorphism and $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$,\n\\item if $F$ is left exact, then $A$ is right acyclic for $F$\nif and only if $R^iF(A) = 0$ for all $i > 0$.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05SV

In Situation . We say $F$ is right derivable , or that $RF$ everywhere defined if $RF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ . We say $F$ is left derivable , or that $LF$ everywhere defined if $LF$ is defined at every object of $\mathcal{D}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:52324507289c1f24de386efd6c27f75fc4ed9e445c1c254d3de5f6f78d4e02be",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05SV",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:c124773f22d16f9d536cdae2abb40060d15bf3c1c27bb039bd7c07afbfc95e45",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-everywhere-defined}\nIn\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\nWe say $F$ is {\\it right derivable}, or that $RF$ {\\it everywhere defined}\nif $RF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\nWe say $F$ is {\\it left derivable}, or that $LF$ {\\it everywhere defined}\nif $LF$ is defined at every object of $\\mathcal{D}$.\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/05T4

Here $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ is an additive functor between abelian categories. This induces exact functors
$F : K(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{B}), \quad K^{+}(\mathcal{A}) \to K^{+}(\mathcal{B}), \quad K^{-}(\mathcal{A}) \to K^{-}(\mathcal{B}).$
See Lemma . We also denote $F$ the composition $K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ , $K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ , and $K^{-}(\mathcal{A}) \to D^-(\mathcal{B})$ of $F$ with the localization functor $K(\mathcal{B}) \to D(\mathcal{B})$ , etc. This situation leads to four derived functors we will consider in the following.
The right derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The right derived functor of $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^{+}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}(\mathcal{A})$ .
The left derived functor of $F : K^{-}(\mathcal{A}) \to D^{-}(\mathcal{B})$ relative to the multiplicative system $\text{Qis}^-(\mathcal{A})$ . Each of these cases is an example of Situation .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7b734956d4fc9c61b7d92b47efd6278d84ca8bed87f9ecb3d0b1bb74c80f8ea8",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "situation",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05T4",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:73730814b6a7e9b8d49b7668a97550e999f7324072caaedeab6d267a7f2bbbe6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{situation}\n\\label{situation-classical}\nHere $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ is an additive functor between\nabelian categories. This induces exact functors\n$$\nF : K(\\mathcal{A}) \\to K(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{+}(\\mathcal{A}) \\to K^{+}(\\mathcal{B}), \\quad\nK^{-}(\\mathcal{A}) \\to K^{-}(\\mathcal{B}).\n$$\nSee Lemma \\ref{lemma-additive-exact-homotopy-category}.\nWe also denote $F$ the composition $K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$,\n$K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$, and\n$K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^-(\\mathcal{B})$ of $F$ with the localization\nfunctor $K(\\mathcal{B}) \\to D(\\mathcal{B})$, etc. This situation leads\nto four derived functors we will consider in the following.\n\\begin{enumerate}\n\\item The right derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The right derived functor of\n$F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^{+}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K(\\mathcal{A}) \\to D(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}(\\mathcal{A})$.\n\\item The left derived functor of\n$F : K^{-}(\\mathcal{A}) \\to D^{-}(\\mathcal{B})$\nrelative to the multiplicative system $\\text{Qis}^-(\\mathcal{A})$.\n\\end{enumerate}\nEach of these cases is an example of\nSituation \\ref{situation-derived-functor}.\n\\end{situation}"
    }
  ]
}

tag/05TD

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
We have $R^iF = 0$ for $i < 0$ ,
$R^0F$ is left exact,
the map $F \to R^0F$ is an isomorphism if and only if $F$ is left exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:174e81d1e6a2a741a7ca892fd32c0730c7a3e2200102395c172408bdb4b5453b",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TD",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e13afb6775b69471bfd612155b1855cc310461519f6e5d3727e4e64b18e7e5b7",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-left-exact-higher-derived}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere\ndefined.\n\\begin{enumerate}\n\\item We have $R^iF = 0$ for $i < 0$,\n\\item $R^0F$ is left exact,\n\\item the map $F \\to R^0F$ is an isomorphism if and\nonly if $F$ is left exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TE

Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be an additive functor between abelian categories and assume $RF : D^{+}(\mathcal{A}) \to D^{+}(\mathcal{B})$ is everywhere defined.
The functors $R^iF$ , $i \geq 0$ come equipped with a canonical structure of a $\delta$ -functor from $\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ , see Homology, Definition .
If every object of $\mathcal{A}$ is a subobject of a right acyclic object for $F$ , then $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is a universal $\delta$ -functor, see Homology, Definition .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:40b9cb4e0f5b604cc2daaa8085d1142dae0ac30e4bcc9adec87883443ec4e5d6",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TE",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:949b05eff66291065b983c92020aa94af9ab868feaf33ac9dcca7776457d66f4",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-right-derived-delta-functor}\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be an additive functor\nbetween abelian categories and assume\n$RF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\to D^{+}(\\mathcal{B})$ is everywhere defined.\n\\begin{enumerate}\n\\item The functors $R^iF$, $i \\geq 0$ come equipped with a canonical\nstructure of a $\\delta$-functor from $\\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-cohomological-delta-functor}.\n\\item If every object of $\\mathcal{A}$ is a subobject of a right\nacyclic object for $F$, then $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is a\nuniversal $\\delta$-functor, see\nHomology, Definition \\ref{homology-definition-universal-delta-functor}.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/05TI

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.
For any exact functor $F : K^{+}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}$ into a triangulated category $\mathcal{D}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow \mathcal{D}$
is everywhere defined.
For any additive functor $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ into an abelian category $\mathcal{B}$ the right derived functor
$RF : D^{+}(\mathcal{A}) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B})$
is everywhere defined.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:75ae150b62d929f84cbd72f9c3c3bbc8b0e8a2fa9e10f51d42bf1c190b65d73e",
  "edition": "urn:stacks:clir:derived-functors#STACKS_DERIVED_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/05TI",
  "package": "urn:stacks:clir:derived-functors",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:4d65e3bfe708a80785f85bd358981a9258f467f4705b132e3801b1a913a96651",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-enough-injectives-right-derived}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category with enough injectives.\n\\begin{enumerate}\n\\item For any exact functor $F : K^{+}(\\mathcal{A}) \\to \\mathcal{D}$\ninto a triangulated category $\\mathcal{D}$ the right derived\nfunctor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow \\mathcal{D}\n$$\nis everywhere defined.\n\\item For any additive functor $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ into an\nabelian category $\\mathcal{B}$ the right derived functor\n$$\nRF : D^{+}(\\mathcal{A}) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n$$\nis everywhere defined.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

Пакеты в снимке

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина
Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

cohomology_vanishes_positive: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: cohomology_universal_delta_functor(urn:case:stacks:sh:x); abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx); has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:f); has_injective_resolution(urn:case:stacks:sh:f); flasque(urn:case:stacks:sh:f); right_acyclic_for(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:gamma); higher_derived_vanish(urn:case:stacks:sh:gamma, urn:case:stacks:sh:f); cohomology_vanishes_positive(urn:case:stacks:sh:x, urn:case:stacks:sh:f) …и ещё 20 выведенных фактов вне предмета вопроса (полный вывод — law_explain) Применены правила: LeftExactBySES, LeftExactIsAdditive, abelian_category/sufficient, DerivedFormDeltaFunctor, DerivedUniversalDeltaFunctor, HigherDerivedVanishForAcyclic, InjectiveResolutionsExist, NegativeDerivedVanish, R0AgreesIfLeftExact, RFEverywhereDefined, AbAdditive, AbCoimageImage, AbCokernels, AbKernels, AbXAdditive, AbXCoimageImage, AbXCokernels, AbXEnoughInjectives, AbXKernels, AbelianSheafByDefinition, AbelianSheafIsObjectOfAbX, CohomologyUniversalDeltaFunctor, CohomologyVanishesForAcyclic, FlasqueByRestrictions, FlasqueIsAcyclic, GlobalSectionsBetween, GlobalSectionsLeftExact, GodementResolutionExists, SheafByGluing, abelian_presheaf_on/sufficient Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on $X$» — оно отменило бы вывод, будь установлено: not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x) (поражающее правило не сработало из-за неустановленных фактов — подайте их в facts, если они есть в деле) Право (вне юрисдикции государства): Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — доктрина (programHash sha256:037863663edc…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина; Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 44 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 26,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DZ",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SW",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SY",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "package": "stacks-sheaf-cohomology",
      "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_010N"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": false,
      "fragmentCount": 17,
      "fragments": [],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:category-theory",
      "package": "stacks-category-theory",
      "title": "Категория, функтор, изоморфизм, пределы, точные и сопряжённые функторы по главе «Categories» The Stacks Project: основание словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 16,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_013K",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015B",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_015C",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05SV",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05T4",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TD",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TE",
        "urn:stacks:clir:derived-functors#ST_05TI"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:derived-functors",
      "package": "stacks-derived-functors",
      "title": "Производные функторы по The Stacks Project: определения и леммы как словарь с пошаговым раскрытием — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:eb097105acd6264efc4b3a976119c21291db893e9fd17e38d38569e961f8c9fa",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:037863663edcbb19699db703e2b64c892fac09e4362d28c4147d70de0b0fb692",
  "resultHash": "sha256:1166b2901cc0036291a26774c3e5724613084e2ab2033e1d286dca27e0aa25d3",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:7b39be0f6824c88aa4f9fda1cf5aca51eaf6f428c57cf06e55d13007ad10c3a4

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:x",
    "urn:case:stacks:sh:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "restrictions_surjective"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "cohomology_vanishes_positive",
  "proof": true
}

Вялость — достаточное условие ацикличности: в положительных степенях когомологий нет.

Проверка условия

Инъективный пучок вял

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

09SW: пучок вялый (flasque)

Исходные факты

категория есть $Ab(X)$ — категория пучков абелевых групп на $X$
c: abxx: x
категория есть $Ab$ — категория абелевых групп
ab: ab
функтор есть $Γ(X, −): Ab(X) → Ab, F ↦ Γ(X, F) = F(X)$
g: gammax: x
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: fx: x
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: f
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: f
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: f
для всякой инъекции $A ↪ B$ и всякого морфизма $A → J$ существует морфизм $B → J$ , замыкающий диаграмму
j: f

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "lifting_property"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "flasque",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода13 шагов

1
категория есть $Ab(X)$ — категория пучков абелевых групп на $X$
c: urn:case:stacks:sh:abx; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
2
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
3
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
4
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006K
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient
правило
5
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
6
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
7
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
$F$ — пучок множеств на $X$ : f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
правило
8
0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок: f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 0070
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
правило
9
0070 (2): абелев пучок на $X$ — объект категории $Ab(X)$
object of: urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx
тег 0070
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX
правило
10
для всякой инъекции $A ↪ B$ и всякого морфизма $A → J$ существует морфизм $B → J$ , замыкающий диаграмму
j: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
11
0135: объект $J$ инъективен, если всякий морфизм $A → J$ продолжается вдоль всякой инъекции $A ↪ B$
объект инъективен: j: urn:case:stacks:sh:f
тег 0135
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#InjectiveByLifting
правило
12
09SX с 01AD: инъективный объект $Ab(X) = Mod(Z_X)$ вял
09SW: пучок вялый (flasque): f: urn:case:stacks:sh:f
тег 09SX, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#InjectiveSheafIsFlasque
правило
13
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 7 · факт дела: 6 · Полный граф: 36 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

0135: объект $J$ инъективен, если всякий морфизм $A → J$ продолжается вдоль всякой инъекции $A ↪ B$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#InjectiveByLifting

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
0070 (2): абелев пучок на $X$ — объект категории $Ab(X)$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX
09SX с 01AD: инъективный объект $Ab(X) = Mod(Z_X)$ вял
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#InjectiveSheafIsFlasque
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient

Другие правила расчёта16

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

010N (2): $F$ точен слева, если для всякой короткой точной последовательности $0 → A → B → C → 0$ последовательность $0 → F(A) → F(B) → F(C)$ точна
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactBySES
010N (1): если $F$ точен слева, то он аддитивен
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#LeftExactIsAdditive
0109: категория абелева, если она аддитивна, в ней существуют все ядра и коядра и $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всех $f$
Идентификатор
urn:stacks:clir:categories#abelian_category/sufficient

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всякого морфизма
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels
01DG: в категории абелевых пучков на топологическом пространстве $X$ достаточно инъективных
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels
09SY с 01AD: вялый абелев пучок правый ацикличный для $Γ(X, −)$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#FlasqueIsAcyclic
0716: $Γ(X, −)$ — функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween
0716: $Γ(X, −)$ — точный слева функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact
0FKS с 01AD: у всякого абелева пучка $F$ на $X$ есть резольвента Годемана $0 → F → f_*f^*F → …$ вялыми пучками
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists

Вывод по запросу

09SW: пучок вялый (flasque)
f: f

Другие выводы7

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: fx: x
$F$ — пучок множеств на $X$
f: fx: x
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f: fx: x
Исходные данные · JSON
JSONТолько чтение
```
"object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx)"
```
0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f: f
объект инъективен
j: f

Исходные данные · JSON

"right_acyclic_for(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:gamma)"

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f	x
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:x

$F$ — пучок множеств на $X$
f	x
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:x

0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f	x
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:x

0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f
urn:case:stacks:sh:f

объект инъективен
j
urn:case:stacks:sh:f

09SW: пучок вялый (flasque)
f
urn:case:stacks:sh:f

Скрыто выведенных фактов: 15. В кратком ответе движок оставляет относящиеся к вопросу; полный перечень — в JSON расчёта ниже.

Что способно поразить вывод1 правил

1
006T: предпучок, опровергнутый открытым покрытием, — не пучок множеств на $X$
Чего не хватает
- $F$ — не пучок на $X$ : условие 006T провалено на некотором открытом покрытииf, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering
правило

Граф доказательств

Граф доказательства · 6 слой

Узлы доказательств: 36 · assertion 8, rule_application 23, constraint_check 4, query_evaluation 1

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

ИсточникиФрагментов: 13

tag/006K

Let $X$ be a topological space.
A presheaf of abelian groups on $X$ or an abelian presheaf over $X$ is a presheaf of sets $\mathcal{F}$ such that for each open $U \subset X$ the set $\mathcal{F}(U)$ is endowed with the structure of an abelian group, and such that all restriction maps $\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see Lemma above.
A morphism of abelian presheaves over $X$ $\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ is a morphism of presheaves of sets which induces a homomorphism of abelian groups $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ for every open $U \subset X$ .
The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted $\textit{PAb}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:fa7c3dec36920848465ed2902237f8efade0877767eebcee37676bb1bb8717d9",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006K",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:b8388b54fb29de485ebd7c91f38c607f6005d41b4d427265a75b163118fd70d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-presheaves}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it presheaf of abelian groups on $X$} or an\n{\\it abelian presheaf over $X$}\nis a presheaf of sets $\\mathcal{F}$ such that for each open\n$U \\subset X$ the set $\\mathcal{F}(U)$ is endowed with\nthe structure of an abelian group, and such that all restriction\nmaps $\\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see\nLemma \\ref{lemma-abelian-presheaves} above.\n\\item A {\\it morphism of abelian presheaves over $X$}\n$\\varphi : \\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$ is a morphism of presheaves\nof sets which induces\na homomorphism of abelian groups $\\mathcal{F}(U) \\to \\mathcal{G}(U)$\nfor every open $U \\subset X$.\n\\item The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted\n$\\textit{PAb}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/006T

Let $X$ be a topological space.
A sheaf $\mathcal{F}$ of sets on $X$ is a presheaf of sets which satisfies the following additional property: Given any open covering $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ and any collection of sections $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ , $i \in I$ such that $\forall i, j\in I$
$s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$
there exists a unique section $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s_i = s|_{U_i}$ for all $i \in I$ .
A morphism of sheaves of sets is simply a morphism of presheaves of sets.
The category of sheaves of sets on $X$ is denoted $\Sh(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:8504f30501fb40b30a60685a51aad76a416258206ec9a839891f7bf83cd38323",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006T",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:041460b360dfa6a9d137bed749118fd98c2764c6ac5b9058dcb5aa7167313f76",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it sheaf $\\mathcal{F}$ of sets on $X$} is a presheaf\nof sets which satisfies the following additional property: Given\nany open covering $U = \\bigcup_{i \\in I} U_i$ and any collection\nof sections $s_i \\in \\mathcal{F}(U_i)$, $i \\in I$ such that\n$\\forall i, j\\in I$\n$$\ns_i|_{U_i \\cap U_j} = s_j|_{U_i \\cap U_j}\n$$\nthere exists a unique section $s \\in \\mathcal{F}(U)$ such that\n$s_i = s|_{U_i}$ for all $i \\in I$.\n\\item A {\\it morphism of sheaves of sets} is simply a\nmorphism of presheaves of sets.\n\\item The category of sheaves of sets on $X$ is denoted\n$\\Sh(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/0070

Let $X$ be a topological space.
An abelian sheaf on $X$ or sheaf of abelian groups on $X$ is an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of sets is a sheaf.
The category of sheaves of abelian groups is denoted $\textit{Ab}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:04f51a87121abeee45cd4e99f1379db299b359b4ac801017c7770a7f05d2c370",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0070",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3260f7d5e9cbfe266160539b8375cd23ac2429762aaa12eb860ad707dc28a6cd",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item An {\\it abelian sheaf on $X$} or\n{\\it sheaf of abelian groups on $X$}\nis an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of\nsets is a sheaf.\n\\item The category of sheaves of abelian groups\nis denoted $\\textit{Ab}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/01AD

Introduction
In this chapter we work out basic notions of sheaves of modules. This in particular includes the case of abelian sheaves, since these may be viewed as sheaves of $\underline{\mathbf{Z}}$ -modules. Basic references are , and . We work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi in another chapter (see Modules on Sites, Section ), although there we will mostly just duplicate the discussion from this chapter.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d0262bf7656850a1933eef167a360437aa2bb6436e57461a3d23de09e8cc8ef3",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AD",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3237316f9dec6bd87194ad43833111dbdf86cade5633082fbc0e7d50b3e2e7cf",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Introduction}\n\\label{section-introduction}\n\n\\noindent\nIn this chapter we work out basic notions of sheaves of modules.\nThis in particular includes the case of abelian sheaves, since\nthese may be viewed as sheaves of $\\underline{\\mathbf{Z}}$-modules.\nBasic references are \\cite{FAC}, \\cite{EGA} and \\cite{SGA4}.\n\n\\medskip\\noindent\nWe work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi\nin another chapter (see\nModules on Sites, Section \\ref{sites-modules-section-introduction}),\nalthough there we will mostly just duplicate the discussion\nfrom this chapter."
    }
  ]
}

tag/01AG

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover a complex
$\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}$
is exact at $\mathcal{G}$ if and only if for all $x \in X$ the complex
$\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x$
is exact at $\mathcal{G}_x$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:1bf6bd6db42698470b675022b39392436590d133c6e4e0e6f342e63ce50e5290",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:d40ca7777a52e10948b9c7e8da68432632fc0b8f4bb33c427370acaf48a4b19f",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover\na complex\n$$\n\\mathcal{F} \\to \\mathcal{G} \\to \\mathcal{H}\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}$ if and only if for all $x \\in X$ the\ncomplex\n$$\n\\mathcal{F}_x \\to \\mathcal{G}_x \\to \\mathcal{H}_x\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}_x$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/01DG

Let $X$ be a topological space. The category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives. In fact it has functorial injective embeddings.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:48de83780b89577a36cf370ecf47370fa86fe2d17276908d3fb411375d5e1ec7",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_INJECTIVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01DG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e4b4f09acb0a39efab590f7a0a1974dde000a27f6205d5284eb9b41b91b7f6d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian-sheaves-space}\nLet $X$ be a topological space.\nThe category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives.\nIn fact it has functorial injective embeddings.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0716

Derived functors
We briefly explain how to get right derived functors using resolution functors. For the unbounded derived functors, please see Section . Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is abelian, see Modules, Lemma . In this chapter we will write
$K(\mathcal{O}_X) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \quad \text{and} \quad D(\mathcal{O}_X) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)).$
and similarly for the bounded versions for the triangulated categories introduced in Derived Categories, Definition and Definition . By Derived Categories, Remark there exists a resolution functor
$j = j_X : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})$
where $\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves. For any left exact functor $F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{B}$ into any abelian category $\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the right derived functor described in Derived Categories, Section and constructed using the resolution functor $j_X$ just described: RF = F \circ j_X' : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) see Derived Categories, Lemma for notation. Note that we may think of $RF$ as defined on $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ , $\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))$ , $K^{+}(X)$ , or $D^{+}(X)$ depending on the situation. According to Derived Categories, Definition we obtain the $i$ th right derived functor R^iF = H^i \circ RF : Mod (\mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{B} so that $R^0F = F$ and $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is universal $\delta$ -functor, see Derived Categories, Lemma . Here are two special cases of this construction. Given a ring $R$ we write $K(R) = K(\text{Mod}_R)$ and $D(R) = D(\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions. For any open $U \subset X$ we have a left exact functor $\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}$ which gives rise to R\Gamma(U, -) : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) by the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)$ . If $U = X$ we recover (). If $f : X \to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have the left exact functor $f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)$ which gives rise to the derived pushforward Rf_* : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(Y) The $i$ th cohomology sheaf of $Rf_*\mathcal{F}^\bullet$ is denoted $R^if_*\mathcal{F}^\bullet$ and called the $i$ th higher direct image in accordance with (). The two displayed functors above are exact functors of derived categories. Abuse of notation: When the functor $Rf_*$ , or any other derived functor, is applied to a sheaf $\mathcal{F}$ on $X$ or a complex of sheaves it is understood that $\mathcal{F}$ has been replaced by a suitable resolution of $\mathcal{F}$ . To facilitate this kind of operation we will say, given an object $\mathcal{F}^\bullet \in D(\mathcal{O}_X)$ , that a bounded below complex $\mathcal{I}^\bullet$ of injectives of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ represents $\mathcal{F}^\bullet$ in the derived category if there exists a quasi-isomorphism $\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet$ . In the same vein the phrase ``let $\alpha : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet$ be a morphism of $D(\mathcal{O}_X)$ '' does not mean that $\alpha$ is represented by a morphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will say so.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:0eee6ff9b997a29e65a9204cd10ad0d6c3337360eac630526713e3e18f1c9b03",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0716",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f61344b89b5447a2349b548070137ca4e6f491c90033bf637527fbd9f371c876",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Derived functors}\n\\label{section-derived-functors}\n\n\\noindent\nWe briefly explain how to get right derived functors using resolution\nfunctors. For the unbounded derived functors, please see\nSection \\ref{section-unbounded}.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is abelian, see\nModules, Lemma \\ref{modules-lemma-abelian}.\nIn this chapter we will write\n$$\nK(\\mathcal{O}_X) = K(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\quad\n\\text{and}\n\\quad\nD(\\mathcal{O}_X) = D(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)).\n$$\nand similarly for the bounded versions for the triangulated categories\nintroduced in\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-complexes-notation} and\nDefinition \\ref{derived-definition-unbounded-derived-category}.\nBy\nDerived Categories, Remark \\ref{derived-remark-big-abelian-category}\nthere exists a resolution functor\n$$\nj = j_X :\nK^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\longrightarrow\nK^{+}(\\mathcal{I})\n$$\nwhere $\\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves.\nFor any left exact functor\n$F : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\mathcal{B}$\ninto any abelian category $\\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the\nright derived functor described in\nDerived Categories, Section \\ref{derived-section-right-derived-functor}\nand constructed using the resolution functor $j_X$ just described:\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RF}\nRF = F \\circ j_X' : D^{+}(X) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n\\end{equation}\nsee\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-right-derived-functor}\nfor notation. Note that we may think of $RF$ as defined on\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$,\n$\\text{Comp}^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))$,\n$K^{+}(X)$, or $D^{+}(X)$\ndepending on the situation. According to\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-higher-derived-functors}\nwe obtain the $i$th right derived functor\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RFi}\nR^iF = H^i \\circ RF : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\longrightarrow \\mathcal{B}\n\\end{equation}\nso that $R^0F = F$ and $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is universal\n$\\delta$-functor, see\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-higher-derived-functors}.\n\n\\medskip\\noindent\nHere are two special cases of this construction.\nGiven a ring $R$ we write $K(R) = K(\\text{Mod}_R)$ and\n$D(R) = D(\\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions.\nFor any open $U \\subset X$ we have a left exact functor\n$\n\\Gamma(U, -) :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\text{Mod}_{\\mathcal{O}_X(U)}\n$\nwhich gives rise to\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-cohomology}\nR\\Gamma(U, -) :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(\\mathcal{O}_X(U))\n\\end{equation}\nby the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\\Gamma(U, -)$.\nIf $U = X$ we recover (\\ref{equation-cohomology-modules}).\nIf $f : X \\to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have\nthe left exact functor\n$\nf_* :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_Y)\n$\nwhich gives rise to the {\\it derived pushforward}\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-direct-image}\nRf_* :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(Y)\n\\end{equation}\nThe $i$th cohomology sheaf of $Rf_*\\mathcal{F}^\\bullet$ is denoted\n$R^if_*\\mathcal{F}^\\bullet$ and called the $i$th {\\it higher direct image}\nin accordance with (\\ref{equation-higher-direct-image-modules}).\nThe two displayed functors above are exact functors\nof derived categories.\n\n\\medskip\\noindent\n{\\bf Abuse of notation:} When the functor $Rf_*$, or any other\nderived functor, is applied to a sheaf $\\mathcal{F}$ on $X$ or a complex\nof sheaves it is understood that $\\mathcal{F}$ has been replaced by a\nsuitable resolution of $\\mathcal{F}$. To facilitate this kind of\noperation we will say, given an object\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\in D(\\mathcal{O}_X)$,\nthat a bounded below complex $\\mathcal{I}^\\bullet$ of injectives of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$\n{\\it represents $\\mathcal{F}^\\bullet$ in the derived category}\nif there exists a quasi-isomorphism\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. In the same vein the phrase\n``let $\\alpha : \\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{G}^\\bullet$ be\na morphism of $D(\\mathcal{O}_X)$''\ndoes not mean that $\\alpha$ is represented by a\nmorphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will\nsay so."
    }
  ]
}

tag/09SX

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Then any injective $\mathcal{O}_X$ -module is flasque.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:f5e5d7a52fa030ef160ac88525e779a4a589ba55a59c29a59b9055850534792c",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SX",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/09SX",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:d2662eefd4a3574b5c328b30b8abcb92218c774fd5994f253a2e2e7e4820d036",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-injective-flasque}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space.\nThen any injective $\\mathcal{O}_X$-module is flasque.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/09SY

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Any flasque $\mathcal{O}_X$ -module is acyclic for $R\Gamma(X, -)$ as well as $R\Gamma(U, -)$ for any open $U$ of $X$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:7662615771c020c4afb51a8478766a67d4a3bdf502078614c0096d548d27dc05",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SY",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/09SY",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:707ef368c24b80d3d736e07759dff795af4faae92c0ece2f17999e27898ff0d2",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-flasque-acyclic}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. Any flasque $\\mathcal{O}_X$-module\nis acyclic for $R\\Gamma(X, -)$ as well as $R\\Gamma(U, -)$ for any\nopen $U$ of $X$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0FKS

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of $\mathcal{O}_X$ -modules $\mathcal{F}$ there is a resolution
$0 \to \mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots$
functorial in $\mathcal{F}$ such that each term $f_*f^* \ldots f_*f^*\mathcal{F}$ is a flasque $\mathcal{O}_X$ -module and such that for all $x \in X$ the map
$\mathcal{F}_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to \ldots \Big)$
is a homotopy equivalence in the category of complexes of $\mathcal{O}_{X, x}$ -modules.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:787503a0ec46db68e4e11e9bf5fa2fabae3304c806bc7e2f5be69ab1af6cc11f",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0FKS",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:8b044713268f8366ca6cc0212d88985ff0517eb2417f464d218f454e93c283fe",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-godement-resolution}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of\n$\\mathcal{O}_X$-modules $\\mathcal{F}$ there is a resolution\n$$\n0 \\to\n\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to \\ldots\n$$\nfunctorial in $\\mathcal{F}$ such that each term\n$f_*f^* \\ldots f_*f^*\\mathcal{F}$ is a flasque\n$\\mathcal{O}_X$-module and such that for all $x \\in X$ the\nmap\n$$\n\\mathcal{F}_x[0] \\to \\Big(\n(f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to \\ldots\n\\Big)\n$$\nis a homotopy equivalence in the category of complexes\nof $\\mathcal{O}_{X, x}$-modules.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0109

A category $\mathcal{A}$ is abelian if it is additive, if all kernels and cokernels exist, and if the natural map $\Coim(f) \to \Im(f)$ is an isomorphism for all morphisms $f$ of $\mathcal{A}$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d71e719b696d97622b2d93bda5c18b2271f646d474bfb4ccf2b8276a37bd097d",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0109",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:71bf82d61770e85387a19fb70b7ddfc9fe2d7fffb4dec5a17199db100c9dae22",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-category}\nA category $\\mathcal{A}$ is {\\it abelian} if\nit is additive, if all kernels and cokernels exist,\nand if the natural map $\\Coim(f) \\to \\Im(f)$\nis an isomorphism for all morphisms $f$ of\n$\\mathcal{A}$.\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/010N

Let $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ be abelian categories. Let $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ be a functor.
If $F$ is either left or right exact, then it is additive.
$F$ is left exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C)$ is exact.
$F$ is right exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.
$F$ is exact if and only if for every short exact sequence $0 \to A \to B \to C \to 0$ the sequence $0 \to F(A) \to F(B) \to F(C) \to 0$ is exact.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:64c741ef9deb2269f16508f201759a9d9bd1691e833d5213c0a244b78a7ce59a",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/010N",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e66f034eeeacfcb7b11738065188279ef03410097d4c35d3837c698b10ba0cab",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-exact-functor}\nLet $\\mathcal{A}$ and $\\mathcal{B}$ be abelian categories.\nLet $F : \\mathcal{A} \\to \\mathcal{B}$ be a functor.\n\\begin{enumerate}\n\\item If $F$ is either left or right exact, then it is additive.\n\\item $F$ is left exact if and only if\nfor every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C)$\nis exact.\n\\item $F$ is right exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\item $F$ is exact if and only if for every short exact sequence\n$0 \\to A \\to B \\to C \\to 0$\nthe sequence $0 \\to F(A) \\to F(B) \\to F(C) \\to 0$\nis exact.\n\\end{enumerate}\n\\end{lemma}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

tag/0135

Let $\mathcal{A}$ be an abelian category. An object $J \in \Ob(\mathcal{A})$ is called injective if for every injection $A \hookrightarrow B$ and every morphism $A \to J$ there exists a morphism $B \to J$ making the following diagram commute
\xymatrix{
A \ar[r] \ar[d] & B \ar@{-->}[ld] \\
J &
}
Диаграмма: исходный TeX

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:2ae5842758866ecdbe553b178de00c7c3e8ea454e1a32ff6ed155b6671ddb454",
  "edition": "urn:stacks:clir:categories#STACKS_HOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:categories#ST_0135",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0135",
  "package": "urn:stacks:clir:categories",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3b91442b6a83fe54c0144799446ea4e30d2c23f4f254154a4942fbe3fda8bb46",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-injective}\nLet $\\mathcal{A}$ be an abelian category.\nAn object $J \\in \\Ob(\\mathcal{A})$ is\ncalled {\\it injective} if for every injection\n$A \\hookrightarrow B$ and every morphism\n$A \\to J$ there exists a morphism $B \\to J$ making\nthe following diagram commute\n$$\n\\xymatrix{\nA \\ar[r] \\ar[d] & B \\ar@{-->}[ld] \\\\\nJ &\n}\n$$\n\\end{definition}"
    }
  ],
  "visibility": "public"
}

Пакеты в снимке

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина
Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

flasque: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx); has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:f); injective_object(urn:case:stacks:sh:f); flasque(urn:case:stacks:sh:f); right_acyclic_for(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:gamma) …и ещё 15 выведенных фактов вне предмета вопроса (полный вывод — law_explain) Применены правила: InjectiveByLifting, LeftExactBySES, LeftExactIsAdditive, abelian_category/sufficient, AbAdditive, AbCoimageImage, AbCokernels, AbKernels, AbXAdditive, AbXCoimageImage, AbXCokernels, AbXEnoughInjectives, AbXKernels, AbelianSheafByDefinition, AbelianSheafIsObjectOfAbX, FlasqueIsAcyclic, GlobalSectionsBetween, GlobalSectionsLeftExact, GodementResolutionExists, InjectiveSheafIsFlasque, SheafByGluing, abelian_presheaf_on/sufficient Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on $X$» — оно отменило бы вывод, будь установлено: not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x) (поражающее правило не сработало из-за неустановленных фактов — подайте их в facts, если они есть в деле) Право (вне юрисдикции государства): Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — доктрина (programHash sha256:3a0bacb658a2…) Вместе с актами: Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина proof-граф: 36 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 26,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SX",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_09SY",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "package": "stacks-sheaf-cohomology",
      "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
    },
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 11,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0109",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_010N",
        "urn:stacks:clir:categories#ST_0135"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:categories",
      "package": "stacks-categories",
      "title": "Абелевы категории, точные функторы и инъективные объекты по главе «Homological Algebra» The Stacks Project: нижний слой словаря когомологий — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:bbbb3a110161e09d0f7a6e2793f2b776e0dfbb7278bbd7c430796e7468451fde",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:3a0bacb658a20b29b5d6e7bd7e3fb02f592fc0d840ab878384bb7cfe11ae5aba",
  "resultHash": "sha256:d587a046da0ef9a29dc3ed4d1f6bc4885af175d52f25c2a1767aa7fa1b404792",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:de1183bf01a85c57704d5ef59e996ed95975546c138645cf0aa651373ac6100e

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "package": "stacks-categories",
      "predicate": "lifting_property"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "flasque",
  "proof": true
}

Инъективность влечёт вялость, поэтому инъективные резольвенты состоят из ацикличных пучков.

Проверка условия

Вялая резольвента существует

Дата контекста 06.09.2026

Результат расчёта

Установлено

Исходные параметры

Что определяем

0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)

Исходные факты

категория есть $Ab(X)$ — категория пучков абелевых групп на $X$
c: abxx: x
категория есть $Ab$ — категория абелевых групп
ab: ab
функтор есть $Γ(X, −): Ab(X) → Ab, F ↦ Γ(X, F) = F(X)$
g: gammax: x
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: fx: x
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: f
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: f
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: f

Дополнительные сведения

Сохранить доказательство: Да

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "has_flasque_resolution",
  "proof": true
}

Почему такой результатПрименённые правила и условия

Путь вывода9 шагов

1
$F$ — предпучок множеств на $X$ : правило, сопоставляющее каждому открытому $U$ множество $F(U)$ , а вложениям $V ⊂ U$ — отображения ограничения $ρ^U_V$ с $ρ^U_U = id$ и $ρ^U_W = ρ^V_W ∘ ρ^U_V$
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
факт дела
2
каждое $F(U)$ несёт структуру абелевой группы, и все отображения ограничения — гомоморфизмы абелевых групп
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
3
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006K
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient
правило
4
006T, существование: для всякого открытого покрытия $U = ∪ U_i$ и сечений $s_i ∈ F(U_i)$ , согласованных на пересечениях, существует $s ∈ F(U)$ с $s|U_i = s_i$
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
5
006T, единственность: сечение $s ∈ F(U)$ определяется своими ограничениями $s|U_i$ на открытое покрытие
f: urn:case:stacks:sh:f
факт дела
6
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
$F$ — пучок множеств на $X$ : f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
правило
7
0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок: f: urn:case:stacks:sh:f; x: urn:case:stacks:sh:x
тег 0070
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
правило
8
0FKS с 01AD: у всякого абелева пучка $F$ на $X$ есть резольвента Годемана $0 → F → f_*f^*F → …$ вялыми пучками
0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана): f: urn:case:stacks:sh:f
тег 0FKS, тег 01AD
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists
правило
9
Вычисление запроса
запрос

проверено движком: 5 · факт дела: 4 · Полный граф: 26 узлов

Основание этого ответа

Правила из сохранённой цепочки доказательства ответа.

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

0070 (1): абелев предпучок на $X$ , чей предпучок множеств — пучок, есть абелев пучок
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition
0FKS с 01AD: у всякого абелева пучка $F$ на $X$ есть резольвента Годемана $0 → F → f_*f^*F → …$ вялыми пучками
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists
006T: предпучок множеств — пучок, если согласованные семейства сечений над любым открытым покрытием склеиваются в единственное сечение
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing
006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient

Другие правила расчёта12

Применены в общем расчёте, но не входят в цепочку доказательства этого ответа.

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels
01AG на одноточечном пространстве: $Ab = Mod(Z)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности аддитивна
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности $Coim(f) → Im(f)$ — изоморфизм для всякого морфизма
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все коядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels
01DG: в категории абелевых пучков на топологическом пространстве $X$ достаточно инъективных
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives
01AG с 01AD: $Ab(X) = Mod(Z_X)$ абелева, в частности все ядра существуют
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels
0070 (2): абелев пучок на $X$ — объект категории $Ab(X)$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX
0716: $Γ(X, −)$ — функтор из $Ab(X)$ в $Ab$
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween
0716: $Γ(X, −)$ — точный слева функтор
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact

Вывод по запросу

0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f: f

Другие выводы4

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f: fx: x
$F$ — пучок множеств на $X$
f: fx: x
0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f: fx: x
Исходные данные · JSON
JSONТолько чтение
```
"object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx)"
```

006K: абелев предпучок на $X$ — предпучок множеств $F$ , у которого каждое $F(U)$ — абелева группа, а все ограничения — гомоморфизмы групп
f	x
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:x

$F$ — пучок множеств на $X$
f	x
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:x

0070: $F$ — абелев пучок на $X$ : абелев предпучок, чей предпучок множеств — пучок
f	x
urn:case:stacks:sh:f	urn:case:stacks:sh:x

0FKS: у пучка есть функториальная резольвента вялыми пучками (резольвента Годемана)
f
urn:case:stacks:sh:f

Скрыто выведенных фактов: 11. В кратком ответе движок оставляет относящиеся к вопросу; полный перечень — в JSON расчёта ниже.

Что способно поразить вывод1 правил

1
006T: предпучок, опровергнутый открытым покрытием, — не пучок множеств на $X$
Чего не хватает
- $F$ — не пучок на $X$ : условие 006T провалено на некотором открытом покрытииf, xНе установленоименно этого не хватает
Источник: тег 006T
Идентификатор
urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#NotSheafByRefutingCovering
правило

Граф доказательств

Граф доказательства · 5 слой

Узлы доказательств: 26 · assertion 7, rule_application 16, constraint_check 2, query_evaluation 1

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1

attributes

assertion: fact-1

conclusion

Аргументы

Идентификатор
abx
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

sheaves_category

evidence

—

Идентификатор

fact-1

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AbXAdditive:8c3619a6ff45bcee9cec7b25b9b139a7abf3a95c4a67bc40472dfdefd3f07507

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
abx
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

8c3619a6ff45bcee9cec7b25b9b139a7abf3a95c4a67bc40472dfdefd3f07507

Тип

rule_application

Посылки

fact-1

Правило

AbXAdditive

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: abx
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbXCoimageImage:b31df68bfb11faeb2a82377d6974e1fca40a3fee0825427fc41386ff0abeea26

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
abx
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

b31df68bfb11faeb2a82377d6974e1fca40a3fee0825427fc41386ff0abeea26

Тип

rule_application

Посылки

fact-1

Правило

AbXCoimageImage

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: abx
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbXCokernels:26546323d78d8af11bbbb84b0a9cce994612c84dec159396f1f4f6d9a5cd3b82

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
abx
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

26546323d78d8af11bbbb84b0a9cce994612c84dec159396f1f4f6d9a5cd3b82

Тип

rule_application

Посылки

fact-1

Правило

AbXCokernels

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: abx
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbXEnoughInjectives:cda7b58df9024f6c0fe967599e1c691de351fff175fb99af7c9f028157fbd9e3

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
abx
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

enough_injectives

evidence

—

Идентификатор

cda7b58df9024f6c0fe967599e1c691de351fff175fb99af7c9f028157fbd9e3

Тип

rule_application

Посылки

fact-1

Правило

AbXEnoughInjectives

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: abx
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbXKernels:3d91e64ffe3000b71f052c017378e9d5d27130742b7d16f82feaae40f5798efb

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
abx
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

3d91e64ffe3000b71f052c017378e9d5d27130742b7d16f82feaae40f5798efb

Тип

rule_application

Посылки

fact-1

Правило

AbXKernels

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: abx
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2

attributes

assertion: fact-2

conclusion

Аргументы

Идентификатор
ab
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_groups_category

evidence

—

Идентификатор

fact-2

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:AbAdditive:ef54ddbc40bdc4ff28a4d80a90a6faafcfc0f36bf744413f221fe972eb230e5a

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
ab
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

additive_category

evidence

—

Идентификатор

ef54ddbc40bdc4ff28a4d80a90a6faafcfc0f36bf744413f221fe972eb230e5a

Тип

rule_application

Посылки

fact-2

Правило

AbAdditive

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: ab
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbCoimageImage:489c92ab18648794ad122cbc5b2793f4a0551ea9e7bd14e213ca6aca6698bcda

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
ab
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

coimage_to_image_isomorphism

evidence

—

Идентификатор

489c92ab18648794ad122cbc5b2793f4a0551ea9e7bd14e213ca6aca6698bcda

Тип

rule_application

Посылки

fact-2

Правило

AbCoimageImage

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: ab
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbCokernels:ff0265f8fdb930b7d4ff06ccac03c58417d86493bbb030784ccac0449b1b1527

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
ab
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_cokernels

evidence

—

Идентификатор

ff0265f8fdb930b7d4ff06ccac03c58417d86493bbb030784ccac0449b1b1527

Тип

rule_application

Посылки

fact-2

Правило

AbCokernels

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: ab
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbKernels:9ceba27ac85a6f3cc3cf70c2f872c9d19cda5237e727ac553d53ea0e90127e61

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
ab
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_all_kernels

evidence

—

Идентификатор

9ceba27ac85a6f3cc3cf70c2f872c9d19cda5237e727ac553d53ea0e90127e61

Тип

rule_application

Посылки

fact-2

Правило

AbKernels

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: ab
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3

attributes

assertion: fact-3

conclusion

Аргументы

Идентификатор
gamma
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

global_sections_functor

evidence

—

Идентификатор

fact-3

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:GlobalSectionsBetween:e7ffe1b948adf5af54d8708376f83345aec002dccfab069236cce8c73e87156a

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
gamma
Тип
entity_ref
Идентификатор
abx
Тип
entity_ref
Идентификатор
ab
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

functor_between

evidence

—

Идентификатор

e7ffe1b948adf5af54d8708376f83345aec002dccfab069236cce8c73e87156a

Тип

rule_application

Посылки

fact-1
fact-2
fact-3

Правило

GlobalSectionsBetween

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: gamma
Тип: entity_ref

Идентификатор: abx
Тип: entity_ref

Идентификатор: ab
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:GlobalSectionsLeftExact:cbe69694c69ba24703c0c47c7653e1000e98b1f952b9f301430d49558c3cb87f

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
gamma
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

preserves_left_exactness

evidence

—

Идентификатор

cbe69694c69ba24703c0c47c7653e1000e98b1f952b9f301430d49558c3cb87f

Тип

rule_application

Посылки

fact-3

Правило

GlobalSectionsLeftExact

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: gamma
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4

attributes

assertion: fact-4

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

presheaf_of_sets_on

evidence

—

Идентификатор

fact-4

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5

attributes

assertion: fact-5

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_group_structure

evidence

—

Идентификатор

fact-5

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550

attributes

definition

concept: abelian_presheaf_on
mode: exact
part: sufficient

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_presheaf_on

evidence

—

Идентификатор

5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550

Тип

rule_application

Посылки

fact-4
fact-5

Правило

abelian_presheaf_on/sufficient

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6

attributes

assertion: fact-6

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

compatible_sections_glue

evidence

—

Идентификатор

fact-6

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

assertion · urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7

attributes

assertion: fact-7

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

gluing_is_unique

evidence

—

Идентификатор

fact-7

Тип

assertion

Посылки

—

sourceAnchors

—

rule_application · urn:proof:apply:SheafByGluing:1c1b3ee5d6f76d3b8f5e71d4346fedff94104faef7eb2b49772ce02e87c9fe15

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

sheaf_of_sets_on

evidence

—

Идентификатор

1c1b3ee5d6f76d3b8f5e71d4346fedff94104faef7eb2b49772ce02e87c9fe15

Тип

rule_application

Посылки

fact-4
fact-6
fact-7

Правило

SheafByGluing

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbelianSheafByDefinition:a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
x
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

abelian_sheaf_on

evidence

—

Идентификатор

a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b

Тип

rule_application

Посылки

1c1b3ee5d6f76d3b8f5e71d4346fedff94104faef7eb2b49772ce02e87c9fe15
5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550

Правило

AbelianSheafByDefinition

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:AbelianSheafIsObjectOfAbX:a4113766b50bc85db8d50d2f5f12a167b306afe711be27f2d36df088e64657d1

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref
Идентификатор
abx
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

object_of

evidence

—

Идентификатор

a4113766b50bc85db8d50d2f5f12a167b306afe711be27f2d36df088e64657d1

Тип

rule_application

Посылки

a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b
fact-1

Правило

AbelianSheafIsObjectOfAbX

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: abx
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

rule_application · urn:proof:apply:GodementResolutionExists:efebb3102f08344bb53276573ed09e2f919d28be88f1d7d8642feb028858b2b5

attributes

—

conclusion

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_flasque_resolution

evidence

—

Идентификатор

efebb3102f08344bb53276573ed09e2f919d28be88f1d7d8642feb028858b2b5

Тип

rule_application

Посылки

a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b

Правило

GodementResolutionExists

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:DeclaredSheafNotRefutedByData:a3086c1ab2d45ded5da8e0cc9af87054b331f7644b3f724323051fa23c2cbfe7

attributes

—

conclusion

constraint: DeclaredSheafNotRefutedByData
requirementStatus: Не установлено
Статус расчёта: Не определено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

a3086c1ab2d45ded5da8e0cc9af87054b331f7644b3f724323051fa23c2cbfe7

Тип

constraint_check

Посылки

fact-4
fact-6
fact-7

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

constraint_check · urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:69fe3a3837154e6d8c670ec6d8e8ffac94a848314f66b3d9ea2ecb4c5f7c50cd

attributes

—

conclusion

constraint: abelian_presheaf_on/necessary
requirementStatus: Установлено
Статус расчёта: Соблюдено
triggerStatus: Соблюдено

evidence

—

Идентификатор

69fe3a3837154e6d8c670ec6d8e8ffac94a848314f66b3d9ea2ecb4c5f7c50cd

Тип

constraint_check

Посылки

5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550
fact-4
fact-5

sourceAnchors

—

substitution

Идентификатор: f
Тип: entity_ref

Идентификатор: x
Тип: entity_ref

query_evaluation · urn:proof:query:mcp

attributes

—

conclusion

literal

Аргументы

Идентификатор
f
Тип
entity_ref

Тип

literal

Знак

positive

Условие

has_flasque_resolution

truthStatus

Установлено

evidence

—

Идентификатор

mcp

Тип

query_evaluation

Посылки

efebb3102f08344bb53276573ed09e2f919d28be88f1d7d8642feb028858b2b5

sourceAnchors

—

Идентификаторы календаря и доказательства

Ссылка на доказательство: mcp

Исходное обоснование · JSON

{
  "derived": [
    "abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx)",
    "has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 11,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaves_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXAdditive:8c3619a6ff45bcee9cec7b25b9b139a7abf3a95c4a67bc40472dfdefd3f07507",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXCoimageImage:b31df68bfb11faeb2a82377d6974e1fca40a3fee0825427fc41386ff0abeea26",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXCokernels:26546323d78d8af11bbbb84b0a9cce994612c84dec159396f1f4f6d9a5cd3b82",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXEnoughInjectives:cda7b58df9024f6c0fe967599e1c691de351fff175fb99af7c9f028157fbd9e3",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXKernels:3d91e64ffe3000b71f052c017378e9d5d27130742b7d16f82feaae40f5798efb",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_groups_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbAdditive:ef54ddbc40bdc4ff28a4d80a90a6faafcfc0f36bf744413f221fe972eb230e5a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbCoimageImage:489c92ab18648794ad122cbc5b2793f4a0551ea9e7bd14e213ca6aca6698bcda",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbCokernels:ff0265f8fdb930b7d4ff06ccac03c58417d86493bbb030784ccac0449b1b1527",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbKernels:9ceba27ac85a6f3cc3cf70c2f872c9d19cda5237e727ac553d53ea0e90127e61",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#global_sections_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GlobalSectionsBetween:e7ffe1b948adf5af54d8708376f83345aec002dccfab069236cce8c73e87156a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v3": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preserves_left_exactness"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GlobalSectionsLeftExact:cbe69694c69ba24703c0c47c7653e1000e98b1f952b9f301430d49558c3cb87f",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_group_structure"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#compatible_sections_glue"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#gluing_is_unique"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafByGluing:1c1b3ee5d6f76d3b8f5e71d4346fedff94104faef7eb2b49772ce02e87c9fe15",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbelianSheafByDefinition:a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafByGluing:1c1b3ee5d6f76d3b8f5e71d4346fedff94104faef7eb2b49772ce02e87c9fe15",
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbelianSheafIsObjectOfAbX:a4113766b50bc85db8d50d2f5f12a167b306afe711be27f2d36df088e64657d1",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AbelianSheafByDefinition:a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GodementResolutionExists:efebb3102f08344bb53276573ed09e2f919d28be88f1d7d8642feb028858b2b5",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AbelianSheafByDefinition:a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#DeclaredSheafNotRefutedByData",
            "requirementStatus": "NEITHER",
            "status": "UNDETERMINED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:DeclaredSheafNotRefutedByData:a3086c1ab2d45ded5da8e0cc9af87054b331f7644b3f724323051fa23c2cbfe7",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:69fe3a3837154e6d8c670ec6d8e8ffac94a848314f66b3d9ea2ecb4c5f7c50cd",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:GodementResolutionExists:efebb3102f08344bb53276573ed09e2f919d28be88f1d7d8642feb028858b2b5"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:52d5e4d5307887511d553d90c649d2ba104a2d328d4a11ae988443326a59df5f",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:DeclaredSheafNotRefutedByData:a3086c1ab2d45ded5da8e0cc9af87054b331f7644b3f724323051fa23c2cbfe7",
        "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:69fe3a3837154e6d8c670ec6d8e8ffac94a848314f66b3d9ea2ecb4c5f7c50cd",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:55697df015ad5cf4e575a4cd370d1b6492ec701a53968894f701f407f19207f5",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.2"
  },
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient"
  ],
  "vulnerableTo": [
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)",
      "missing": [
        "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByRefutingCovering"
    }
  ]
}

ИсточникиФрагментов: 8

tag/006K

Let $X$ be a topological space.
A presheaf of abelian groups on $X$ or an abelian presheaf over $X$ is a presheaf of sets $\mathcal{F}$ such that for each open $U \subset X$ the set $\mathcal{F}(U)$ is endowed with the structure of an abelian group, and such that all restriction maps $\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see Lemma above.
A morphism of abelian presheaves over $X$ $\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ is a morphism of presheaves of sets which induces a homomorphism of abelian groups $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ for every open $U \subset X$ .
The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted $\textit{PAb}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:fa7c3dec36920848465ed2902237f8efade0877767eebcee37676bb1bb8717d9",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006K",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:b8388b54fb29de485ebd7c91f38c607f6005d41b4d427265a75b163118fd70d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-presheaves}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it presheaf of abelian groups on $X$} or an\n{\\it abelian presheaf over $X$}\nis a presheaf of sets $\\mathcal{F}$ such that for each open\n$U \\subset X$ the set $\\mathcal{F}(U)$ is endowed with\nthe structure of an abelian group, and such that all restriction\nmaps $\\rho^U_V$ are homomorphisms of abelian groups, see\nLemma \\ref{lemma-abelian-presheaves} above.\n\\item A {\\it morphism of abelian presheaves over $X$}\n$\\varphi : \\mathcal{F} \\to \\mathcal{G}$ is a morphism of presheaves\nof sets which induces\na homomorphism of abelian groups $\\mathcal{F}(U) \\to \\mathcal{G}(U)$\nfor every open $U \\subset X$.\n\\item The category of presheaves of abelian groups on $X$ is denoted\n$\\textit{PAb}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/006T

Let $X$ be a topological space.
A sheaf $\mathcal{F}$ of sets on $X$ is a presheaf of sets which satisfies the following additional property: Given any open covering $U = \bigcup_{i \in I} U_i$ and any collection of sections $s_i \in \mathcal{F}(U_i)$ , $i \in I$ such that $\forall i, j\in I$
$s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}$
there exists a unique section $s \in \mathcal{F}(U)$ such that $s_i = s|_{U_i}$ for all $i \in I$ .
A morphism of sheaves of sets is simply a morphism of presheaves of sets.
The category of sheaves of sets on $X$ is denoted $\Sh(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:8504f30501fb40b30a60685a51aad76a416258206ec9a839891f7bf83cd38323",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/006T",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:041460b360dfa6a9d137bed749118fd98c2764c6ac5b9058dcb5aa7167313f76",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item A {\\it sheaf $\\mathcal{F}$ of sets on $X$} is a presheaf\nof sets which satisfies the following additional property: Given\nany open covering $U = \\bigcup_{i \\in I} U_i$ and any collection\nof sections $s_i \\in \\mathcal{F}(U_i)$, $i \\in I$ such that\n$\\forall i, j\\in I$\n$$\ns_i|_{U_i \\cap U_j} = s_j|_{U_i \\cap U_j}\n$$\nthere exists a unique section $s \\in \\mathcal{F}(U)$ such that\n$s_i = s|_{U_i}$ for all $i \\in I$.\n\\item A {\\it morphism of sheaves of sets} is simply a\nmorphism of presheaves of sets.\n\\item The category of sheaves of sets on $X$ is denoted\n$\\Sh(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/0070

Let $X$ be a topological space.
An abelian sheaf on $X$ or sheaf of abelian groups on $X$ is an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of sets is a sheaf.
The category of sheaves of abelian groups is denoted $\textit{Ab}(X)$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:04f51a87121abeee45cd4e99f1379db299b359b4ac801017c7770a7f05d2c370",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_SHEAVES_MASTER",
  "fragmentKind": "defn",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0070",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3260f7d5e9cbfe266160539b8375cd23ac2429762aaa12eb860ad707dc28a6cd",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{definition}\n\\label{definition-abelian-sheaf}\nLet $X$ be a topological space.\n\\begin{enumerate}\n\\item An {\\it abelian sheaf on $X$} or\n{\\it sheaf of abelian groups on $X$}\nis an abelian presheaf on $X$ such that the underlying presheaf of\nsets is a sheaf.\n\\item The category of sheaves of abelian groups\nis denoted $\\textit{Ab}(X)$.\n\\end{enumerate}\n\\end{definition}"
    }
  ]
}

tag/01AD

Introduction
In this chapter we work out basic notions of sheaves of modules. This in particular includes the case of abelian sheaves, since these may be viewed as sheaves of $\underline{\mathbf{Z}}$ -modules. Basic references are , and . We work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi in another chapter (see Modules on Sites, Section ), although there we will mostly just duplicate the discussion from this chapter.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:d0262bf7656850a1933eef167a360437aa2bb6436e57461a3d23de09e8cc8ef3",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AD",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:3237316f9dec6bd87194ad43833111dbdf86cade5633082fbc0e7d50b3e2e7cf",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Introduction}\n\\label{section-introduction}\n\n\\noindent\nIn this chapter we work out basic notions of sheaves of modules.\nThis in particular includes the case of abelian sheaves, since\nthese may be viewed as sheaves of $\\underline{\\mathbf{Z}}$-modules.\nBasic references are \\cite{FAC}, \\cite{EGA} and \\cite{SGA4}.\n\n\\medskip\\noindent\nWe work out what happens for sheaves of modules on ringed topoi\nin another chapter (see\nModules on Sites, Section \\ref{sites-modules-section-introduction}),\nalthough there we will mostly just duplicate the discussion\nfrom this chapter."
    }
  ]
}

tag/01AG

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover a complex
$\mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H}$
is exact at $\mathcal{G}$ if and only if for all $x \in X$ the complex
$\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x \to \mathcal{H}_x$
is exact at $\mathcal{G}_x$ .

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:1bf6bd6db42698470b675022b39392436590d133c6e4e0e6f342e63ce50e5290",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_MODULES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01AG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:d40ca7777a52e10948b9c7e8da68432632fc0b8f4bb33c427370acaf48a4b19f",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is an abelian category. Moreover\na complex\n$$\n\\mathcal{F} \\to \\mathcal{G} \\to \\mathcal{H}\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}$ if and only if for all $x \\in X$ the\ncomplex\n$$\n\\mathcal{F}_x \\to \\mathcal{G}_x \\to \\mathcal{H}_x\n$$\nis exact at $\\mathcal{G}_x$.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/01DG

Let $X$ be a topological space. The category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives. In fact it has functorial injective embeddings.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:48de83780b89577a36cf370ecf47370fa86fe2d17276908d3fb411375d5e1ec7",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_INJECTIVES_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/01DG",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:e4b4f09acb0a39efab590f7a0a1974dde000a27f6205d5284eb9b41b91b7f6d6",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-abelian-sheaves-space}\nLet $X$ be a topological space.\nThe category of abelian sheaves on $X$ has enough injectives.\nIn fact it has functorial injective embeddings.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

tag/0716

Derived functors
We briefly explain how to get right derived functors using resolution functors. For the unbounded derived functors, please see Section . Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ is abelian, see Modules, Lemma . In this chapter we will write
$K(\mathcal{O}_X) = K(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \quad \text{and} \quad D(\mathcal{O}_X) = D(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)).$
and similarly for the bounded versions for the triangulated categories introduced in Derived Categories, Definition and Definition . By Derived Categories, Remark there exists a resolution functor
$j = j_X : K^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)) \longrightarrow K^{+}(\mathcal{I})$
where $\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves. For any left exact functor $F : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \to \mathcal{B}$ into any abelian category $\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the right derived functor described in Derived Categories, Section and constructed using the resolution functor $j_X$ just described: RF = F \circ j_X' : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{B}) see Derived Categories, Lemma for notation. Note that we may think of $RF$ as defined on $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ , $\text{Comp}^{+}(\textit{Mod}(\mathcal{O}_X))$ , $K^{+}(X)$ , or $D^{+}(X)$ depending on the situation. According to Derived Categories, Definition we obtain the $i$ th right derived functor R^iF = H^i \circ RF : Mod (\mathcal{O}_X) \longrightarrow \mathcal{B} so that $R^0F = F$ and $\{R^iF, \delta\}_{i \geq 0}$ is universal $\delta$ -functor, see Derived Categories, Lemma . Here are two special cases of this construction. Given a ring $R$ we write $K(R) = K(\text{Mod}_R)$ and $D(R) = D(\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions. For any open $U \subset X$ we have a left exact functor $\Gamma(U, -) : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \text{Mod}_{\mathcal{O}_X(U)}$ which gives rise to R\Gamma(U, -) : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(\mathcal{O}_X(U)) by the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\Gamma(U, -)$ . If $U = X$ we recover (). If $f : X \to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have the left exact functor $f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)$ which gives rise to the derived pushforward Rf_* : D^{+}(X) \longrightarrow D^{+}(Y) The $i$ th cohomology sheaf of $Rf_*\mathcal{F}^\bullet$ is denoted $R^if_*\mathcal{F}^\bullet$ and called the $i$ th higher direct image in accordance with (). The two displayed functors above are exact functors of derived categories. Abuse of notation: When the functor $Rf_*$ , or any other derived functor, is applied to a sheaf $\mathcal{F}$ on $X$ or a complex of sheaves it is understood that $\mathcal{F}$ has been replaced by a suitable resolution of $\mathcal{F}$ . To facilitate this kind of operation we will say, given an object $\mathcal{F}^\bullet \in D(\mathcal{O}_X)$ , that a bounded below complex $\mathcal{I}^\bullet$ of injectives of $\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)$ represents $\mathcal{F}^\bullet$ in the derived category if there exists a quasi-isomorphism $\mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{I}^\bullet$ . In the same vein the phrase ``let $\alpha : \mathcal{F}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet$ be a morphism of $D(\mathcal{O}_X)$ '' does not mean that $\alpha$ is represented by a morphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will say so.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:0eee6ff9b997a29e65a9204cd10ad0d6c3337360eac630526713e3e18f1c9b03",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "section",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0716",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:f61344b89b5447a2349b548070137ca4e6f491c90033bf637527fbd9f371c876",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\section{Derived functors}\n\\label{section-derived-functors}\n\n\\noindent\nWe briefly explain how to get right derived functors using resolution\nfunctors. For the unbounded derived functors, please see\nSection \\ref{section-unbounded}.\n\n\\medskip\\noindent\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. The category\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ is abelian, see\nModules, Lemma \\ref{modules-lemma-abelian}.\nIn this chapter we will write\n$$\nK(\\mathcal{O}_X) = K(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\quad\n\\text{and}\n\\quad\nD(\\mathcal{O}_X) = D(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)).\n$$\nand similarly for the bounded versions for the triangulated categories\nintroduced in\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-complexes-notation} and\nDefinition \\ref{derived-definition-unbounded-derived-category}.\nBy\nDerived Categories, Remark \\ref{derived-remark-big-abelian-category}\nthere exists a resolution functor\n$$\nj = j_X :\nK^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))\n\\longrightarrow\nK^{+}(\\mathcal{I})\n$$\nwhere $\\mathcal{I}$ is the strictly full additive subcategory of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$ consisting of injective sheaves.\nFor any left exact functor\n$F : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\to \\mathcal{B}$\ninto any abelian category $\\mathcal{B}$ we will denote $RF$ the\nright derived functor described in\nDerived Categories, Section \\ref{derived-section-right-derived-functor}\nand constructed using the resolution functor $j_X$ just described:\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RF}\nRF = F \\circ j_X' : D^{+}(X) \\longrightarrow D^{+}(\\mathcal{B})\n\\end{equation}\nsee\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-right-derived-functor}\nfor notation. Note that we may think of $RF$ as defined on\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$,\n$\\text{Comp}^{+}(\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X))$,\n$K^{+}(X)$, or $D^{+}(X)$\ndepending on the situation. According to\nDerived Categories, Definition \\ref{derived-definition-higher-derived-functors}\nwe obtain the $i$th right derived functor\n\\begin{equation}\n\\label{equation-RFi}\nR^iF = H^i \\circ RF : \\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X) \\longrightarrow \\mathcal{B}\n\\end{equation}\nso that $R^0F = F$ and $\\{R^iF, \\delta\\}_{i \\geq 0}$ is universal\n$\\delta$-functor, see\nDerived Categories, Lemma \\ref{derived-lemma-higher-derived-functors}.\n\n\\medskip\\noindent\nHere are two special cases of this construction.\nGiven a ring $R$ we write $K(R) = K(\\text{Mod}_R)$ and\n$D(R) = D(\\text{Mod}_R)$ and similarly for bounded versions.\nFor any open $U \\subset X$ we have a left exact functor\n$\n\\Gamma(U, -) :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\text{Mod}_{\\mathcal{O}_X(U)}\n$\nwhich gives rise to\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-cohomology}\nR\\Gamma(U, -) :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(\\mathcal{O}_X(U))\n\\end{equation}\nby the discussion above. We set $H^i(U, -) = R^i\\Gamma(U, -)$.\nIf $U = X$ we recover (\\ref{equation-cohomology-modules}).\nIf $f : X \\to Y$ is a morphism of ringed spaces, then we have\nthe left exact functor\n$\nf_* :\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)\n\\longrightarrow\n\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_Y)\n$\nwhich gives rise to the {\\it derived pushforward}\n\\begin{equation}\n\\label{equation-total-derived-direct-image}\nRf_* :\nD^{+}(X)\n\\longrightarrow\nD^{+}(Y)\n\\end{equation}\nThe $i$th cohomology sheaf of $Rf_*\\mathcal{F}^\\bullet$ is denoted\n$R^if_*\\mathcal{F}^\\bullet$ and called the $i$th {\\it higher direct image}\nin accordance with (\\ref{equation-higher-direct-image-modules}).\nThe two displayed functors above are exact functors\nof derived categories.\n\n\\medskip\\noindent\n{\\bf Abuse of notation:} When the functor $Rf_*$, or any other\nderived functor, is applied to a sheaf $\\mathcal{F}$ on $X$ or a complex\nof sheaves it is understood that $\\mathcal{F}$ has been replaced by a\nsuitable resolution of $\\mathcal{F}$. To facilitate this kind of\noperation we will say, given an object\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\in D(\\mathcal{O}_X)$,\nthat a bounded below complex $\\mathcal{I}^\\bullet$ of injectives of\n$\\textit{Mod}(\\mathcal{O}_X)$\n{\\it represents $\\mathcal{F}^\\bullet$ in the derived category}\nif there exists a quasi-isomorphism\n$\\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{I}^\\bullet$. In the same vein the phrase\n``let $\\alpha : \\mathcal{F}^\\bullet \\to \\mathcal{G}^\\bullet$ be\na morphism of $D(\\mathcal{O}_X)$''\ndoes not mean that $\\alpha$ is represented by a\nmorphism of complexes. If we have an actual morphism of complexes we will\nsay so."
    }
  ]
}

tag/0FKS

Let $(X, \mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of $\mathcal{O}_X$ -modules $\mathcal{F}$ there is a resolution
$0 \to \mathcal{F} \to f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F} \to \ldots$
functorial in $\mathcal{F}$ such that each term $f_*f^* \ldots f_*f^*\mathcal{F}$ is a flasque $\mathcal{O}_X$ -module and such that for all $x \in X$ the map
$\mathcal{F}_x[0] \to \Big( (f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to (f_*f^*f_*f^*f_*f^*\mathcal{F})_x \to \ldots \Big)$
is a homotopy equivalence in the category of complexes of $\mathcal{O}_{X, x}$ -modules.

Исходные данные · JSON

{
  "contentHash": "sha256:787503a0ec46db68e4e11e9bf5fa2fabae3304c806bc7e2f5be69ab1af6cc11f",
  "edition": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#STACKS_COHOMOLOGY_MASTER",
  "fragmentKind": "lemma",
  "id": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS",
  "kind": "fragment",
  "locator": "tag/0FKS",
  "package": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
  "texts": [
    {
      "contentHash": "sha256:8b044713268f8366ca6cc0212d88985ff0517eb2417f464d218f454e93c283fe",
      "language": "en",
      "status": "official",
      "text": "\\begin{lemma}\n\\label{lemma-godement-resolution}\nLet $(X, \\mathcal{O}_X)$ be a ringed space. For every sheaf of\n$\\mathcal{O}_X$-modules $\\mathcal{F}$ there is a resolution\n$$\n0 \\to\n\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to\nf_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F} \\to \\ldots\n$$\nfunctorial in $\\mathcal{F}$ such that each term\n$f_*f^* \\ldots f_*f^*\\mathcal{F}$ is a flasque\n$\\mathcal{O}_X$-module and such that for all $x \\in X$ the\nmap\n$$\n\\mathcal{F}_x[0] \\to \\Big(\n(f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to\n(f_*f^*f_*f^*f_*f^*\\mathcal{F})_x \\to \\ldots\n\\Big)\n$$\nis a homotopy equivalence in the category of complexes\nof $\\mathcal{O}_{X, x}$-modules.\n\\end{lemma}"
    }
  ]
}

Пакеты в снимке

Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина

Технические данныеПолный ответ, параметры и контрольные суммы

Статус расчёта: COMPUTED

Полный ответ движка

has_flasque_resolution: TRUE_ONLY — установлено Выведено правом: abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x); object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx); has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:f) …и ещё 11 выведенных фактов вне предмета вопроса (полный вывод — law_explain) Применены правила: AbAdditive, AbCoimageImage, AbCokernels, AbKernels, AbXAdditive, AbXCoimageImage, AbXCokernels, AbXEnoughInjectives, AbXKernels, AbelianSheafByDefinition, AbelianSheafIsObjectOfAbX, GlobalSectionsBetween, GlobalSectionsLeftExact, GodementResolutionExists, SheafByGluing, abelian_presheaf_on/sufficient Ответ поражаем правилом «006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on $X$» — оно отменило бы вывод, будь установлено: not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x) (поражающее правило не сработало из-за неустановленных фактов — подайте их в facts, если они есть в деле) Право (вне юрисдикции государства): Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — доктрина (programHash sha256:6b62eb59e903…) proof-граф: 26 узлов — поле evaluation готово для law_explain

Полный машинный результат · JSON

{
  "answer": {
    "evaluationStatus": "COMPUTED",
    "kind": "TRUTH",
    "meaning": "установлено",
    "missingInputs": [],
    "truthStatus": "TRUE_ONLY"
  },
  "closedEditionRules": [],
  "derived": [
    "abelian_presheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "sheaf_of_sets_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "abelian_sheaf_on(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
    "object_of(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:abx)",
    "has_flasque_resolution(urn:case:stacks:sh:f)"
  ],
  "derivedOmitted": 11,
  "evaluation": {
    "proofGraph": {
      "nodes": [
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-1"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaves_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXAdditive:8c3619a6ff45bcee9cec7b25b9b139a7abf3a95c4a67bc40472dfdefd3f07507",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXCoimageImage:b31df68bfb11faeb2a82377d6974e1fca40a3fee0825427fc41386ff0abeea26",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXCokernels:26546323d78d8af11bbbb84b0a9cce994612c84dec159396f1f4f6d9a5cd3b82",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#enough_injectives"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXEnoughInjectives:cda7b58df9024f6c0fe967599e1c691de351fff175fb99af7c9f028157fbd9e3",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbXKernels:3d91e64ffe3000b71f052c017378e9d5d27130742b7d16f82feaae40f5798efb",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-2"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_groups_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#additive_category"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbAdditive:ef54ddbc40bdc4ff28a4d80a90a6faafcfc0f36bf744413f221fe972eb230e5a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#coimage_to_image_isomorphism"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbCoimageImage:489c92ab18648794ad122cbc5b2793f4a0551ea9e7bd14e213ca6aca6698bcda",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_cokernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbCokernels:ff0265f8fdb930b7d4ff06ccac03c58417d86493bbb030784ccac0449b1b1527",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#has_all_kernels"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbKernels:9ceba27ac85a6f3cc3cf70c2f872c9d19cda5237e727ac553d53ea0e90127e61",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-3"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#global_sections_functor"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#functor_between"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GlobalSectionsBetween:e7ffe1b948adf5af54d8708376f83345aec002dccfab069236cce8c73e87156a",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-2",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:ab",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v3": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:categories#preserves_left_exactness"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GlobalSectionsLeftExact:cbe69694c69ba24703c0c47c7653e1000e98b1f952b9f301430d49558c3cb87f",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-3"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:gamma",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-4"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#presheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-5"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_group_structure"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "definition": {
              "concept": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on",
              "mode": "exact",
              "part": "sufficient"
            }
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-6"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#compatible_sections_glue"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {
            "assertion": "urn:mcp:case#fact-7"
          },
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#gluing_is_unique"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7",
          "kind": "assertion",
          "premises": [],
          "sourceAnchors": []
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#sheaf_of_sets_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:SheafByGluing:1c1b3ee5d6f76d3b8f5e71d4346fedff94104faef7eb2b49772ce02e87c9fe15",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:x",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_sheaf_on"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbelianSheafByDefinition:a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:SheafByGluing:1c1b3ee5d6f76d3b8f5e71d4346fedff94104faef7eb2b49772ce02e87c9fe15",
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              },
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:category-theory#object_of"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:AbelianSheafIsObjectOfAbX:a4113766b50bc85db8d50d2f5f12a167b306afe711be27f2d36df088e64657d1",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AbelianSheafByDefinition:a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-1"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:abx",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v2": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "args": [
              {
                "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                "kind": "entity_ref"
              }
            ],
            "kind": "literal",
            "polarity": "positive",
            "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:apply:GodementResolutionExists:efebb3102f08344bb53276573ed09e2f919d28be88f1d7d8642feb028858b2b5",
          "kind": "rule_application",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:AbelianSheafByDefinition:a277a096fc991e0691864c116ba6a191c497f899e5254bebdc7dbb11ad7e7a2b"
          ],
          "rule": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#DeclaredSheafNotRefutedByData",
            "requirementStatus": "NEITHER",
            "status": "UNDETERMINED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:DeclaredSheafNotRefutedByData:a3086c1ab2d45ded5da8e0cc9af87054b331f7644b3f724323051fa23c2cbfe7",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-6",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-7"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "constraint": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/necessary",
            "requirementStatus": "TRUE_ONLY",
            "status": "SATISFIED",
            "triggerStatus": "SATISFIED"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:69fe3a3837154e6d8c670ec6d8e8ffac94a848314f66b3d9ea2ecb4c5f7c50cd",
          "kind": "constraint_check",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:abelian_presheaf_on/sufficient:5aee1f4ad9975105115e78992348b4746cacb2acabb4bb84bd75e90f5fdca550",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-4",
            "urn:proof:assert:urn:mcp:case#fact-5"
          ],
          "sourceAnchors": [],
          "substitution": {
            "v0": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:f",
              "kind": "entity_ref"
            },
            "v1": {
              "id": "urn:case:stacks:sh:x",
              "kind": "entity_ref"
            }
          }
        },
        {
          "attributes": {},
          "conclusion": {
            "literal": {
              "args": [
                {
                  "id": "urn:case:stacks:sh:f",
                  "kind": "entity_ref"
                }
              ],
              "kind": "literal",
              "polarity": "positive",
              "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution"
            },
            "truthStatus": "TRUE_ONLY"
          },
          "evidence": [],
          "id": "urn:proof:query:mcp",
          "kind": "query_evaluation",
          "premises": [
            "urn:proof:apply:GodementResolutionExists:efebb3102f08344bb53276573ed09e2f919d28be88f1d7d8642feb028858b2b5"
          ],
          "sourceAnchors": []
        }
      ],
      "proofHash": "sha256:52d5e4d5307887511d553d90c649d2ba104a2d328d4a11ae988443326a59df5f",
      "roots": [
        "urn:proof:constraint:DeclaredSheafNotRefutedByData:a3086c1ab2d45ded5da8e0cc9af87054b331f7644b3f724323051fa23c2cbfe7",
        "urn:proof:constraint:abelian_presheaf_on/necessary:69fe3a3837154e6d8c670ec6d8e8ffac94a848314f66b3d9ea2ecb4c5f7c50cd",
        "urn:proof:query:mcp"
      ]
    },
    "resultHash": "sha256:55697df015ad5cf4e575a4cd370d1b6492ec701a53968894f701f407f19207f5",
    "schemaVersion": "law.core.evaluation/0.2"
  },
  "evaluationStatus": "COMPUTED",
  "issues": [],
  "judgmentRequests": [],
  "proofRef": "urn:proof:query:mcp",
  "provenance": {
    "acts": [
      {
        "contributed": true,
        "fragmentCount": 26,
        "fragments": [
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
          "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS"
        ],
        "jurisdiction": "none",
        "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
        "package": "stacks-sheaf-cohomology",
        "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
      }
    ],
    "caseHash": "sha256:cbb748b0310e7cb0123ebe15d336ee802e2029c961418f557f9e1c2265f5200a",
    "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
    "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
    "legalTime": "2026-09-06",
    "mode": "audit",
    "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e",
    "resultHash": "sha256:55697df015ad5cf4e575a4cd370d1b6492ec701a53968894f701f407f19207f5",
    "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
    "timezone": "Asia/Qyzylorda"
  },
  "rulesApplied": [
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbAdditive",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCoimageImage",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbCokernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbKernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXAdditive",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCoimageImage",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXCokernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXEnoughInjectives",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbXKernels",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafByDefinition",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#AbelianSheafIsObjectOfAbX",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsBetween",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GlobalSectionsLeftExact",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#GodementResolutionExists",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#SheafByGluing",
    "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#abelian_presheaf_on/sufficient"
  ],
  "signature": {
    "constants": {},
    "parameters": [
      {
        "labels": [],
        "name": "f",
        "type": {
          "name": "urn:stacks:clir:category-theory#Obj"
        }
      }
    ],
    "predicate": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#has_flasque_resolution",
    "schemaVersion": "law.answers.signature/0.1",
    "types": {
      "urn:stacks:clir:category-theory#Obj": {
        "kind": "unknown"
      }
    },
    "vocab": {}
  },
  "vulnerableTo": [
    {
      "anchors": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T"
      ],
      "label": "006T: a presheaf refuted by an open covering is not a sheaf of sets on \\(X\\)",
      "missing": [
        "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)"
      ],
      "premises": [
        {
          "premise": "not_a_sheaf(urn:case:stacks:sh:f, urn:case:stacks:sh:x)",
          "status": "NEITHER"
        }
      ],
      "rule": "NotSheafByRefutingCovering"
    }
  ],
  "whyNot": []
}

Исполнение · JSON

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

Метаданные отображения

Блок слишком большой для встроенного просмотра. Он целиком включён в JSON документа — без сокращений.

Скачать JSON ↓

JSON · расчёты, источники и точные данные

{
  "acts": [
    {
      "contributed": true,
      "fragmentCount": 26,
      "fragments": [
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006K",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_006T",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0070",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AD",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01AG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_01DG",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0716",
        "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology#ST_0FKS"
      ],
      "jurisdiction": "none",
      "namespace": "urn:stacks:clir:sheaf-cohomology",
      "package": "stacks-sheaf-cohomology",
      "title": "Когомологии пучков по The Stacks Project: пучок, пучковизация, H^i(X, F) как производный функтор глобальных сечений, вялые пучки — вне юрисдикции государства — доктрина"
    }
  ],
  "caseHash": "sha256:cbb748b0310e7cb0123ebe15d336ee802e2029c961418f557f9e1c2265f5200a",
  "codeHash": "sha256:9bcca6a33805c1c364ca1bc8e9d39d6a9c51ba44203c0406bafbf397b96be699",
  "jurisdiction": "вне юрисдикции государства",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "mode": "audit",
  "programHash": "sha256:6b62eb59e903172fce7cc3ce1a8e29b1fbfc4c6808acc817493c98a07cd7e74e",
  "resultHash": "sha256:55697df015ad5cf4e575a4cd370d1b6492ec701a53968894f701f407f19207f5",
  "rustCodeHash": "sha256:d368cafc7162ed7a6563df5e5c943a57be26fa8aeb3179b530fe3bdd67fe9be4",
  "timezone": "Asia/Qyzylorda"
}

evaluation SHA-256: sha256:22dd3ca08c675673eb855d605d37cb8e132c3aca3d914470b02f19fe7ff86530

Исходные данные · JSON

{
  "args": [
    "urn:case:stacks:sh:f"
  ],
  "facts": [
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:abx",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "sheaves_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:ab"
      ],
      "predicate": "abelian_groups_category"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:gamma",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "global_sections_functor"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f",
        "urn:case:stacks:sh:x"
      ],
      "predicate": "presheaf_of_sets_on"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "abelian_group_structure"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "compatible_sections_glue"
    },
    {
      "args": [
        "urn:case:stacks:sh:f"
      ],
      "predicate": "gluing_is_unique"
    }
  ],
  "kind": "truth",
  "legalTime": "2026-09-06",
  "package": "stacks-sheaf-cohomology",
  "predicate": "has_flasque_resolution",
  "proof": true
}

Резольвента Годемана строится для любого пучка, и вычисление когомологий всегда имеет вход.

Как сослаться

Снимок неизменяем: его закрепляет SHA-256 скачиваемого JSON, поэтому дата обращения не нужна.

Текст ссылки

«Почему H⁰(X, F) — это в точности глобальные сечения, отчего вялый пучок не имеет старших когомологий и всякий ли пучок допускает вялую резольвенту?». Arxo Lens, по состоянию на 06.09.2026. https://lens.arxo.io/a/a_SaQiyajJyuLuWrrmzZd47mDW. SHA-256 снимка: 0784573de683195255e937ea105f498e61cd96566d7d758765f5c206138128fc.

BibTeX

@misc{arxo-lens-a_SaQiyajJyuLu,
  title = {Почему H⁰(X, F) — это в точности глобальные сечения, отчего вялый пучок не имеет старших когомологий и всякий ли пучок допускает вялую резольвенту?},
  howpublished = {Arxo Lens},
  url = {https://lens.arxo.io/a/a_SaQiyajJyuLuWrrmzZd47mDW},
  note = {по состоянию на 06.09.2026; SHA-256 0784573de683195255e937ea105f498e61cd96566d7d758765f5c206138128fc}
}

Код для вставки

Карточка показывает результат и ведёт к полному разбору; cookies не ставит.

<iframe src="https://lens.arxo.io/embed/a_SaQiyajJyuLuWrrmzZd47mDW?lang=ru" width="100%" height="390" loading="lazy" title="Пучки: H⁰ — это глобальные сечения, а вялый пучок — Arxo Lens" style="border:0"></iframe>

Анонимная статистика посещений, без cookies.